一套有趣的期权套利题目 -- 潘登同学的金融经济学笔记

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前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

出题人给出的解法

因为期权的现金流是个凸函数，

$$ K = 40，50， 70\ V(K) = 10, 20, 30 \ 50 = \frac{2}{3} 40 + \frac{1}{3} 70 \ 20 = V(50) \geq \frac{2}{3}V(40) + \frac{1}{3}V(70) = 16.67\ 存在套利空间，卖出3个50，买入2个40 ， 1个70 $$

但是出题人这样任意取$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$的做法，不一定令人信服，但是本质上想让线性部分的现金流加和相等的思想是可取的(即买入与卖出的两个资产组合的现金流相等，进而相互抵消)

将三个期权的现金流，与组合的现金流画在图上则是

可以看到在价格小于等于40的时候，组合的现金流是平稳的，这就是线性部分现金流抵消的思想；

我的解法

作为一名严谨的金融学者，肯定不能这样盲目地定下$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$的比例；

根据无套利定价思想，如果存在套利机会，构造一个资产组合,则必有 $$ \begin{aligned} \pi &= af_a + bf_b + cf_c \ &= a(\max(40-x,0) - 10) + b(\max(50-x,0) - 20) + c(\max(70-x,0) - 30) \geq 0 \end{aligned} $$ 其中，等于号不恒成立； 将上式写成分段函数 $$ \begin{cases} a(30-x) + b(30-x) + c(40-x) \geq 0, & x\leq 40 \ -10a + b(30-x) + c(40-x) \geq 0, & 40 < x\leq 50 \ -10a + -20b + c(40-x) \geq 0, & 50< x\leq 70 \ -10a + -20b - 30c \geq 0, & 70< x \ \end{cases} \ \Rightarrow \begin{cases} (a+b+c) x \leq 30 a + 30 b + 40 c, & x\leq 40 \ (a+b) x \leq -10 a + 30 b + 40 c, & 40 < x\leq 50 \ c x \leq -10 a - 20 b + 40 c, & 50< x\leq 70 \ a + 2b + c \leq 0, & 70< x \end{cases} $$ 观察上式，可以看到不等式右边都是参数，而不等式左边都是一次型函数(除了最后一条不等式)； 假设给定$a,b,c$下，那么不等式右边值确定，不等式左边的单调性也随之确定； 因为不等式左边要么单调增，要么单调减，所以将边界带进去，如果边界值满足，那么所有值都满足，进而 $$ \begin{cases} 0 \leq 30 a + 30 b + 40 c \ 0 \leq -10 a - 10 b \ 0 \leq -50 a -10 b + 40 c \ 0 \leq -60 a - 20 b + 40 c \ 0 \leq -10 a - 20 b - 10 c \ 0 \leq -10 a - 20 b - 30 c \ \end{cases} $$ 显然这是一个三维的线性规划，比较难解，但是因为$a,b,c$只是比例，不是具体数，设$a=1$，将问题转化为二维的线性规划 $$ \begin{cases} 0 \leq 3 + 3b + 4c \ 0 \leq -5 - b + 4c \ 0 \leq -3 - b + 2c \ 0 \leq -1 - 2b - c \ 0 \leq -1 - 2b - 3c \ b \leq 0 \ \end{cases} $$ 将不等号变为等号，画在图中

根据各个线与0的关系，能在图中找到解空间，那么这个解空间就是可供套利的比例选择，注意并非只有一种套利的比例选择；

写为数学表达则为 $$ \begin{cases} 0 \leq -1 - 2b - 3c \ 0 \leq -5 - b + 4c \ 0 \leq 3 + 3b + 4c \ \end{cases} $$

在这个解集中，随便找一个比例$a=1,b=-3,c=1.6$,画出组合现金流

所以说，是不是我的解法比较严谨，套利不再那么神乎其神，只是在数学本质外的面纱而已！！！