无套利定价

作者: pdnbplus | 发布时间: 2024/06/17 | 阅读量: 574

无套利定价 -- 潘登同学的Quant笔记

  • 衍生品
  • 单期二叉树模型
  • 无套利定价的基本原理
  • 风险中性定价
  • 从单期向多期模型拓展
    • Black-Scholes公式带来的第二次金融理论革命，无套利定价理论的进展给金融行业发展带来了强大推动力。而反过来，金融行业的欣欣向荣也为无套利定价理论提供了广阔应用空间，以及来自需求面的强大拉动力。因此，对很多人来说，无套利定价理论就是金融衍生品定价理论，尽管前者的外延大于后者。自然，对无套利定价理论的介绍离不开对衍生品的讨论。

    衍生品

    Forward

    Assumption：

    • Spot price：$S_0$
    • forward pice: $F_0$
    • riskfree rate: $r$(continuous)

    基于无套利的思想，得到现货与远期的关系 $$ F_0 = S_0e^{rT} $$

    • 如果$F_0>S_0e^{rT}$,做多现货，做空远期
    • 如果$F_0

    远期与预期未来现货的关系 $$ F_0e^{-rT} = E(S_T)e^{-kT} $$ 注意：

    • 在 0 期并不能知道 T 期的现货价格。所以在式子中需要在 $S_T$ 前面加上表示期望的符号 E。
    • 在利用期货合约买入未来的资产时，支付的价格已经被锁定在了 F0，没有不确定性。所以对期货价格贴现时需要用无风险利率 r。但在未来的现货市场中买入时，由于未来现货价格存在不确定性，所以就不能用无风险利率来贴现。在上面的式子中，我们用的贴现率是 k。k 与 r 之间的差异就是风险溢价。

    也可以将上式写成 $$ F_0 = E(S_T)e^{(r-k)T} $$

    错误认知: 将期货价格当做人们对未来现货价格的预期(但是“$F_0$代表$E(S_T)$”是正确的)

    补充： 远期价格包含了对未来现货价格的预期，但是远期价格与即期价格又有严格的数量关系，所以远期价格与即期价格都包含了对未来的预期$(F_0,S_0|I)$

    Opotion

    期权分类：

    • plain vanilla option(普通期权)
      • European
        • European put
        • European call
      • American
        • American put
        • American call
    • exotic option(奇异期权)

    相关术语：

    • Maturity date 到期日
    • exercise price 行权价(以后用K表示)
    • underlying asset 标的资产

    在这里插入图片描述

    Put-Call Parity(期权买卖平价关系)

    组合A: call options, $Ke^{-rT}$(cash) $\Rightarrow$ patoff $max{S_T,K}$ 组合B: Put options, 1 stock $\Rightarrow$ patoff $max{S_T,K}$

    因为期末的支付是一样的，根据无套利，现在的价格应该一致 $$ C + Ke^{-rT} = P + S_t $$ $C$表示call option的价格，$P$表示put option的价格

    期权能构造完备市场

    在之前的均衡资产定价理论中，我们看到了完备市场的特殊重要性。但是，现实中的市场未必总是完备的(要求支付矩阵满秩，且秩为状态数)。这时，期权的重要性就体现出来了。因为期权的支付与标的资产的支付之间是非线性的关系——期权支付并不是标的资产支付简单乘上一个数——所以可以利用期权来让不完备的市场变得完备。

    用四个期权

    • call option： exercise price $K-\epsilon$
    • call option： exercise price $K+\epsilon$
    • 2 put option: exercise price $K$

    在这里插入图片描述

    当$\epsilon \to 0$时，只有当价格为K的时候，才会产生一单位的支付，所以即使只有一个证券，期权也能将其组合为Arrow security；

    单期二叉树模型

    在这里插入图片描述

    方法一：用Stock与Derivative复制Bond(风险消除定价法)

    组合$(Derivative, Stock)$ 比例为$(1,-\triangle)$ $$ \Pi_0 = C_0 + \triangle S_0 \ \begin{cases} \Pi_u = C_u - \triangle uS_0 \ \Pi_d = C_d - \triangle dS_0 \ \end{cases} $$ 找出$\triangle$,消除组合风险，$\Pi_u = \Pi_d$ $$ C_u - \triangle uS_0 = C_d - \triangle dS_0 \Rightarrow \triangle = \frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} $$ 那么$\triangle$也可以表示成衍生品相对于底层资产的价格变化 $$ \triangle = \frac{dC}{dS} $$ 若组合的$\triangle=0$则表示，当底层资产变化的时候，组合也不会变化(那么组合就是无风险组合)，使得$\triangle=0$而消除风险的方法称为Delta Hedge

    那么根据无套利条件 $$ \Pi_0 e^r = \Pi_u(\Pi_d)\ C_0 + \frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} S_0 = C_u - \frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} uS_0 \ \Rightarrow C_0 = e^{-r}[\frac{e^{r}-d}{u-d}C_u + \frac{u-e^{r}}{u-d}C_d] $$

    方法二: 用Stock与Bond复制Derivation(复制法)

    组合$(Stock,Bond)$ 比例为$(\triangle,B)$

    $$ \begin{cases} C_u = \triangle uS_0 + Be^r \ C_d = \triangle dS_0 + Be^r \ \end{cases} $$ 直接解出 $$ \begin{cases} \triangle = \frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} \ B = \frac{uC_d-dC_u}{e^r(u-d)} \ \end{cases} $$ 由于这个组合完全复制了衍生品在 1 时刻的支付，由无套利的原理，这个组合 0 时刻的价格就应该等于衍生品 0 时刻的价格。因此，衍生品在 0 时刻的价格应为 $$ C_0 = \triangle S_0 + B = e^{-r}[\frac{e^{r}-d}{u-d}C_u + \frac{u-e^{r}}{u-d}C_d] $$

    方法三: 风险中性定价

    与真实世界不同的是，风险中性世界中的投资者都是风险中性的。我们知道，风险中性的投资者会以资产未来支付的期望值折现来给资产定价。

    如果继续沿用真实世界的概率p $$ S_0 = e^{-r}[puS_0+(1-p)dS_0] $$ 上面这个等式不一定恒成立，我们要使其恒成立，必须在风险中性世界中重新计算一个概率q $$ S_0 = e^{-r}[quS_0+(1-q)dS_0] \Rightarrow q = \frac{e^r-d}{u-d} $$ 一旦知道了风险中性概率q，所有资产都可以用期望贴现的形式定价 $$ C_0 = e^{-r}[qC_u+(1-q)C_d] = e^{-r}[\frac{e^{r}-d}{u-d}C_u + \frac{u-e^{r}}{u-d}C_d] $$

    无套利定价的基本原理

    简单回顾 $$ X \triangleq \begin{bmatrix} x_1^1 & \dots & x_1^J \ \vdots & \ddots & \vdots \ x_S^1 & \dots & x_S^J \ \end{bmatrix}_{S\times J} P = [P_1,\dots,P_J]_{1\times J} \quad \theta = \begin{bmatrix} \theta_1 \ \vdots \ \theta_J \ \end{bmatrix}_{J \times 1} \ X\theta = \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^J x_1^j \theta_j \ \vdots \ \sum_{j=1}^J x_S^j \theta_j \ \end{bmatrix}_{S\times 1} P\theta = \sum_{j=1}^J P_j \theta_j $$

    定义： Arbitrage

    1. $P\theta \leq 0$
    2. $X\theta \geq 0$
    3. (1)(2)中至少有一个为严格不等号

    那么可以得到如下三种套利

    1. $P\theta < 0且X\theta = 0$(现在给你钱，未来没有payoff)
    2. $P\theta = 0且X\theta > 0$(现在不用花钱买，未来给你钱)
    3. $P\theta < 0且X\theta > 0$(不仅现在给你钱，未来也给你钱)

    如果消费者的偏好都是无餍足（non-satiation）的——偏好更多胜于更少——那么资产市场中只要还存在套利机会，消费者一定没有做到最优化 $$ 市场均衡 \Rightarrow 无套利 \nRightarrow 市场均衡 $$

    资产定价基本定理(Fundamental Theorem of Asset Pricing)

    定义：状态价格向量 $$ \Phi = (\phi_1,\dots,\phi_s)^T , \phi_s > 0 \quad \forall s \ s.t. \ \forall j \quad P_j = \sum_{s=1}^S\phi_s x_s^j $$ 从这个定义，很明显的就能看出$\phi_s$是在s状态下有一单位支付的Arrow证券的价格

    定理：资产定价基本定理 $$ No \quad Arbitrage \Leftrightarrow \exist \Phi $$

    引理： Hyperspace Separation Theorem(超平面分离定理)

    1. 找任意两个凸集(分离的)
    2. 一定可以用一个超平面分开 $$ \forall convex \ set \ A,B, \ A\cap B = \empty ,\exist linerfunction \ F(\cdot) \ s.t. \ F(a) < F(b) \quad a\in A, b\in B $$

    下证：(充分性) $$ A \triangleq {(-\sum_{j=1}^JP_j\theta_j, \sum_{j=1}^Jx_1^j\theta_j,\cdots,\sum_{j=1}^Jx_S^j\theta_j):\theta_j \in R, \forall i=1,\dots,J} $$ A里面元素的第一项是组合价格，后面是组合在不同状态下的payoff，显然A是凸集(因为组合的组合也是组合) $$ B \triangleq {(b_0,b_1,\dots,b_S):b_i\geq 0,\forall i=0,1,\dots,S} $$ B是一个锥，也是凸集。在二维的情况下，集合 B 就是二维坐标系的第一象限（包含坐标轴）。

    $$ A\cap B = {0_{S+1}}\ 反证: 若\exist w_{S+1} \in A\cap B \ (w_{S+1}是一个非零向量) \ 那么A中就存在一个非零向量w_{S+1}，至少一个元素为正 \ \begin{cases} -price为正，满足套利1 \ payoff为正，满足套利2 \ -price,payoff都为正，满足套利3 \ \end{cases} \ \therefore No \ Aribtrage \Rightarrow A\cap B = {0_{S+1}} $$ 应用超平面分离定理 $$ A \cap {B-{0_{S+1}}} = \empty \ \exist F(x) = \alpha_0 x_0 + \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_S x_S \ s.t. F(a) < F(b) \quad \forall a \in A ,\ b\in B-{0_{S+1}} $$ 下证：$\forall a \in A ,F(a)=0$ $$ 反证： \exist a_0 \in A, 使得F(a_0) > 0 \ a_0 \in A, \mu \in R, \mu a_0 \in A \ \lim_{\mu \to \infty}F(\mu a_0) = \lim_{\mu \to \infty} \mu f(a_0) = +\infty \ 与F(a) < F(b)矛盾\ 同理，\exist a_1 \in A, 使得F(a_1) < 0 \ a_1 \in A, \mu \in R, \mu a_1 \in A \ \lim_{\mu \to -\infty}F(\mu a_1) = \lim_{\mu \to -\infty} \mu f(a_1) = +\infty \ 与F(a) < F(b)矛盾\ $$ 根据$F(b) > F(a) = 0$，对于线性函数$F(x) = \alpha_0 x_0 + \alpha_1 x_1 + \cdots + \alpha_S x_S$来说，必有$\alpha_i >0$; $$ F(a) = 0 \Rightarrow -\alpha_0 \sum_{j=1}^JP_j\theta_j + \alpha_1 \sum_{j=1}^Jx_1^j\theta_j + \cdots + \alpha_S \sum_{j=1}^Jx_S^j\theta_j = 0\ \forall j, \theta_j = 1, \theta_i = 0 \ (i\neq j) \ \begin{aligned} \alpha_0 P_j &= \alpha_1 x_1^j + \cdots + \alpha_S x_S^j \ P_j &= \sum_{s=1}^S \frac{\alpha_s}{\alpha_0}x_s^j \ \end{aligned}\ \Rightarrow \phi_s = \frac{\alpha_s}{\alpha_0} \quad 存在且是正数 \quad # $$

    继续证：(必要性) $$ \forall j \quad P_j = \sum_{s=1}^S\phi_s x_s^j , \phi_s > 0 \ P_{1\times J} = \Phi_{1\times S} X_{S\times J} \ P_{1\times J}\theta_{J \times 1} = \Phi_{1\times S} X_{S\times J}\theta_{J \times 1} \ \because \phi_s > 0, 所以 P\theta 与 X\theta 同号，不存在套利机会 \quad # $$

    2nd Fundamental Theorem of Asset pricing

    $$ No \ Arbitrage \Leftrightarrow \exist \ ! \ \Phi $$ 如果状态价格不唯一，那么自然就存在套利机会；所以在完备市场中，状态价格向量一定唯一；

    风险中性定价

    无风险资产在未来（1 期）各个状态的支付都为 1 单位消费品。因此，无风险资产在现在（0 期）的价格应该为无风险利率的倒数 $$ e^{-r} = \sum_{s=1}^S\phi_s $$ 定义风险中性概率 $$ q_s \triangleq \frac{\phi_s}{\sum_{s=1}^S\phi_s} = \phi_s e^r $$ 显然，$\sum_{s=1}^Sq_s=1$。因此，可以将 $q_1、...、q_S$ 视为各个状态发生的概率（注意，这个概率与真实世界中各个状态发生的概率是两回事） $$ P = \sum_{s=1}^S \phi_s x_s = e^{-r}\sum_{s=1}^S e^r\phi_s x_s = e^{-r}\sum_{s=1}^S q_s x_s = e^{-r} E^Q[\tilde{x}] $$ 上式对所有资产都成立。它意味着，在这个构造出来的假想概率世界 Q 中，所有资产的价格都等于其未来支付在风险中性概率下的期望，再用无风险利率折现的现值。也就是说，在这个假想的世界中，所有消费者看起来都是风险中性的（所以资产价格等于用无风险利率贴现的期望支付）。

    风险中性定价步骤

    1. 验证资产市场不存在套利机会，且是完备的，从而确认存在唯一状态价格向量；
    2. 利用现有的资产价格信息，直接求出风险中性概率；
    3. 利用$P=e^{-r} E^Q[\tilde{x}]$计算资产价格；

    风险中性概率的经济含义

    借助C-CAPM来看 $$ p = E[\delta\frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)}\tilde{x}] = \sum_{s=1}^S \pi_s \delta \frac{u'(c_{1,s})}{u'(c_0)}x_s $$ 显然，$\pi_s \delta \frac{u'(c_{1,s})}{u'(c_0)}$就是状态价格，对应状态s的风险中性概率为 $$ q_s = \pi_s \delta \frac{u'(c_{1,s})}{u'(c_0)} / (\sum_{s'=1}^S \pi_{s'} \delta \frac{u'(c_{1,s'})}{u'(c_0)}) = \frac{\pi_s u'(c_{1,s})}{\sum_{s'=1}^S \pi_{s'}u'(c_{1,s'})} $$ 由上式能够看出，风险中性概率（$q_s$）其实是对真实世界概率（$\pi_s$）的调整。调整的依据就是各个状态所对应的消费边际效用。边际效用高（也就是消费水平低）的状态，其风险中性概率就相对更大一些。换句话说，风险中性概率是利用各个状态的边际效用（消费）来调整真实世界概率得到的定价工具。在风险中性概率中，那些消费更为宝贵（消费边际效用更高）的状态已经在计算概率时获得了增大。

    最后还要说明一下，C-CAPM 与今天介绍的无套利定价理论是完全不同的两套定价理论体系。无套利定价理论自成体系，并不依赖 C-CAPM 而成立。只不过，用 C-CAPM 的框架来解释真实世界与风险中性世界的差别和联系更为形象直观而已。

    为什么能用风险中性世界来进行资产定价

    因为套利机会的存在；套利机会本身是无风险的，尽管消费者的偏好会影响资产价格，但是面对一个无风险的收益的时候，风险偏好已经完全不重要了。套利机会摆在所有人面前

    从单期向多期模型拓展

    信息

    向动态模型拓展的第一步是描述信息的变化。与单期模型不一样，多期模型中决策会在多个时刻做出。而在不同时刻，投资者所掌握的信息是不一样的。这些不同的信息显然会影响投资者的行为。因此，需要将其模型化描述出来。

    在这里插入图片描述

    可以将明天的某种可能叫做事件（event）。每个事件是由某几个状态组成的集合。明天所有的事件构成对状态集的一个划分（partition）。所谓划分，就是说明天所有的事件相互之间交集为空，而组成的并集为状态集。如果有多个时点，那么在每个非最终时点的时点上都会有一些事件。这些事件都是由最终时点的某些状态所组成的集合。在上面的例子中，明天晴这个事件就等于集合$e_1={s_1，s_2}$，而明天雨这个事件等于集合$e_2={s_3，s_4}$。 $$ e_1={s_1，s_2} \quad e_2={s_3，s_4} \ e_1 \cap e_2 = \empty,e_1 \cup e_2 = S \ Partition: F = {e_1,e_2} $$ 而信息information体现为Partition被划分的越来越细；

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    定义：可测的

    • 如果两个状态在同一个事件中，这两个状态对应的随机变量取值就应该相等(例如：知道明天是晴天，给后天定价的时候，只能基于“明天是晴天”这一个消息定出一个价格（而不是两个价格）)

    定义：适应的

    • 一个随机过程（stochastic process）${x_t:t=0,1,...,T}$,如果对任意时刻 $t$，$x_t$都是相对 $t$ 时刻的信息结构可测的，我们就说这个随机过程相对信息过滤是适应（adapted）的。

    动态完备

    完备市场是一个非常重要的概念。所有的完备市场都是等价的，而完备市场中资产的价格也是唯一的。在单期模型这种静态状况中，资产的数量至少要大于状态的数量，市场才有可能是完备的。要将完备市场的概念拓展到动态的状况，有两步需要迈出。

    1. 要确定状态的数目有多少,多期二叉树有多少个子节点就有多少个状态；
    2. 确定需要多少资产来构成一个完备市场；

    定义：长存资产

    • 长存资产（long-lived asset）为直到最终时刻才完成所有支付的资产。

    我们不加证明地给出结论：如果长存资产的数目不低于事件树中各个结点引出的直接后继结点数量的最大值，那么市场就是完备的。

    $$ 资产数>状态数 \Leftarrow 完备市场 \ 长存资产数\geq分叉数 \Leftarrow 动态完备 \ $$

    等价鞅测度（equivalent martingale measure)

    在风险中性概率下，对任何资产未来贴现价格的预期，都等于这一资产当前的贴现价格。因此，可以说在风险中性概率下，任意一种资产的贴现价格序列（是一个随机过程）都是鞅。鞅的严格定义如下

    定义：鞅(martingale)

    • 一个随机过程${x_t:t=0,1,...,T}$如果满足如下三个条件，就被叫做鞅
      • 这个随机过程相对信息过滤是适应的
      • 对所有时刻t，都有$E[|x_t|]<\infty$(期望总是存在的)
      • 对任意$t\geq s$,有$x_s = E[x_t|F_s]$(对未来的期望等于当前值)

    因为所有资产的贴现价格序列在风险中性概率下都是鞅，所以风险中性概率又叫做等价鞅测度（equivalent martingale measure，简称 EMM）。相应的，风险中性定价又被叫做鞅方法（martingale approach）。在数学理论（高等概率论、随机过程）中有大量对鞅的研究。当把资产价格序列转化为鞅，就能够借用这些数学结论来直接研究资产价格了。