投资绩效约束下的有限套利(Shleifer,Vishny) -- 潘登同学的Quant笔记

行为金融学(behavioral finance)的核心问题

行为金融学的两大主体内容

• Irrational Investors(Noise traders)非理性偏差
• Limit of arbitrary 有限套利

按照学术研究的惯例，定义几个市场主体

• 将非理性的交易者（投资者）称为噪声交易者（noise traders）
• 将理性的投资者称为套利者（arbitrageurs）

有限套利(Limit of arbitrary)

基本面风险(Fundamental risk)

• 找到一个错误定价的公司，买入等待升值的过程中，会因为其他政策因素而遭受基本面风险；此时最好的方法是买入错误定价，做空基本面相似的另一家公司(关键就是这个公司很难找)；

实施成本(Implementation costs)

• 真实世界中的交易需要支付成本，比如交易佣金、买卖价差、冲击成本(因为大量买入卖出付出的流动性成本)等。而在市场中搜寻并确认错误定价也需要成本。这些成本可能会妨碍套利行为的实施，从而导致资产误定价的长期存在。

噪声交易者风险(Noise traded risk)(最重要)

• Noise traders 引起错误定价，套利者资金有限，在回到正确价格之前就被强制平仓。套利者不一定能支撑到市场回到理性。(“市场在证明你正确之前，可能已经先把你消灭掉了”)

模型风险（model-based risk）

• 这是因为套利者必须要通过数量模型才能发现套利的机会。对于那些比较复杂的资产（如衍生品），模型尤其重要。但是套利者自己所使用的模型有可能是错误的，从而让套利者误判套利机会。对自己模型信心的不足可能让套利者在套利时有所保留。

Shleifer,Vishny(1997)

模型思想

投资者永远不能忘记这一句流传甚广的名言：“市场在证明你正确之前，可能已经先把你消灭掉了。”即使对自己的判断有充分的信心，投资者也需要敬畏市场，投资时留有余地，为市场更不利的走势做好准备。

对基金经理来说，情况就更加复杂了。在面对市场走势与自己判断相反之时，基金经理像所有投资者一样，都会有怀疑和动摇。但除此而外，更大的压力来自于资金的提供者。对于一个基金经理来说，坚信自己判断正确是一回事，但说服自己的“金主”们自己是正确的则是另一回事。很可能发生的情况是，金主们因为市场短期走势与基金经理的判断不一致，而抽回自己的资金，从而让基金经理倒在市场证明其正确之前。有鉴于此，基金经理即使发现了市场定价的错误，也可能因为担心市场短期的不利走势而不敢对错误定价进行套利。

Shleifer 与 Vishny 这篇文章所蕴含的思想对中国 A 股市场的投资者有特别重要的意义。我国的 A 股市场的投资者中，散户占绝大多数。市场波动经常由俗称为“大妈”的散户所主导。而 A 股市场的公募基金经理又随时受到市场排名的压力，因而有很强动力跟随市场趋势而动。这样，A 股市中的公募基金就愈发地散户化，行为与散户类似，有时甚至比散户还散户，与成熟股票市场中的公募基金形成了巨大发差。A 股基金的这种散户化的行为就可以用 Shleifer 与 Vishny 的这篇文章来加以解释。

模型设定

• 模型中有三个时刻，t=1,2,3， 无风险利率为0;
• 存在一个总量为1的资产，在1，2时刻该资产的支付为0，在3时刻支付为V，显然在3时刻所有人都知道他的价格为V；
• 经济中存在两种投资者：噪声交易者和套利者；
• 噪声交易者在时刻 1 与时刻 2 可能会对资产在时刻 3 的支付产生错误的认识。在时刻 1 和 2，噪声交易者认为时刻 3 的资产支付为 $V-S_t（S_t≥0）$。其中的 $S_t$ 为噪声交易者对资产支付的误判程度。$S_t$前面的负号意味着我们假设噪声交易者总是悲观（pessimistic）的。（这是一个ad hoc Assumptions，因为行为金融是在人不理性的前提下进行研究的，人理性的方式只有一种，而不理性的方式有很多种）
• 假设给定噪声交易者的错误认知，在 t=1,2 时，噪声交易者对资产的总需求为(不是从最优化问题导出，而是假设的，表明需求与价格相反，需求与预期收益正相关的关系即可): $$ N(t) = \frac{V-S_t}{P_t} $$
• 在时刻 1，套利者知道当期噪声交易者的认知偏差为 $S_1$。套利者在做时刻 1 的投资决策时，可以利用这一信息。但是，套利者在时刻 1 并不清楚时刻 2噪声交易者的认知偏差 $S_2$会是多少，而只知道 S2有如下的概率分布 $$ S_2 = \begin{cases} S > S_1 , \quad (概率为q) \ 0 , \quad (概率为1-q) \ \end{cases} $$ 也就是说，在时刻 2，有 $q$ 的概率，噪声交易者对资产支付的悲观错误认知进一步加深（$S_2>S_1$）。还有 $1-q$ 的概率噪声交易者的认知误差消失，正确地认识到时刻 3 的资产支付为 V。如果 2 时刻噪声交易者的认知偏差消失（$S_2=0$），那么此时一定有 $p_2=V$。
• 在时刻 1，套利者有外生给定的 $F_1$ 的资金可用来投资到资产上。在时刻 2，套利者的可用资金将变成 $F_2$。套利者 2 时刻所拥有的资金量 $F_2$ 由其 1、2 两时刻间的投资绩效所决定（这是这个模型的关键点）。

2时刻下的两种情况

• 如果 2 时刻噪声交易者认知偏差消除，此时资产价格会等于 3 时刻资产的支付 V。这样一来，2、3 两时刻的资产价格相等，套利者无法通过在资产上的投资来获利。我们假设此时套利者不在资产上投资，而将其所有资金 $F_2$都放到现金上。
• 如果 2 时刻噪声交易者认知偏差加深（$S_2=S>S_1$），套利者会考虑到由于时刻 3 资产价格一定会上涨到 V，所以会在时刻 2 把自己所有的资金都投入到资产上。所以这种情况下时刻 2 套利者的资产总需求为 $A(2)=\frac{F_2}{p_2}$。因为资产的总供给量为 1，所以有 $$ \frac{V-S_2}{P_2} + \frac{F_2}{p_2} = 1 \ \Rightarrow P_2 = V - S_2 + F_2 \ $$ 我们假设 $F_2

1时刻下的情况 同理，在 1 时刻，套利者不一定会愿意把所有的资金 F1都投入到资产中。假设在 1 时刻，套利者投入 $D_1$的资金量（$D_1≤F_1$）在资产上，则类似前面计算 2 时刻资产价格的方式，可以计算出 1 时刻的资产价格为 $$ \Rightarrow P_1 = V - S_1 + D_1 \ $$ 我们继续假设 $D_1

基于投资绩效的套利

套利者的套利能力受到其投资绩效的约束（performance-based arbitrage，简称 PBA）。这是模型中只存在有限套利的原因。我们可以把套利者设想为基金经理。他们从资产管理市场上募集资金进行套利活动。他们第 2 时刻能够获取的资金量 $F_2$ 与其第 1 时刻投资所获得的投资总回报率（假设为 R）正相关。具体地，我们假设 $$ F_2 = F_1(1+a(R-1)) = F_1(aR+1-a) $$ 其中$a\geq 0$

• 如果套利者第1时刻的投资回报率为正，则套利者第 2 期可掌握的资金量会多于第 1 期；
• 反之，如果投资回报率为负，则套利者会遭遇基金赎回，第 2 期能掌握的资金量将低于 1 期。

对套利者来说，他们 1 时刻投资的总回报为 $$ R = \frac{D_1}{F_1}\cdot \frac{P_2}{P_1} + \frac{F_1-D_1}{F_1} $$ 则套利者2时刻的资金为 $$ \begin{aligned} F_2 &= F_1(aR+1-a) \ &= F_1a(\frac{D_1}{F_1}\cdot \frac{P_2}{P_1} + \frac{F_1-D_1}{F_1}) + (1-a)F_1 \ &= a(\frac{D_1P_2}{P_1} + F_1-D_1) + (1-a)F_1 \ &= F_1 + aD_1(\frac{P_2}{P_1} - 1) \end{aligned} $$

套利者的优化问题

我们假设套利者以恒定的管理费率收取资金管理费。其目标是最大化第 3 期所收取的管理费。这等价于最大化第 3 期所掌管的资金量。

两种情况

• 当噪声交易者时刻 2 的认知误差完全消除时（$S_2=0$），资产价格会在第 2 期就回到 V。此时，无论投资者在第 2 时刻是将所有资金都投入资产，还是以现金方式留在手中，都会得到相同的时刻 3 资金量; $$ W = F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1) $$
• 当噪声交易者时刻 2 的认知误差增大时（$S_2=S>S_1$），套利者应该将所有资金都投入到资产中（因为套利者知道时刻 3 的资产价格一定为 V，因而可以在时刻 2 和时刻 3 之间收获资产价值的升值部分）。这样，时刻 3 的套利者资金量为 $$ W = \frac{V}{P_2} [F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] $$

于是，套利者在时刻 3 资金量的期望为 $$ EW = (1-q)[F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] + q\frac{V}{P_2} [F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] $$

将套利者的优化问题写为 $$ \max_{D_1}\quad (1-q)[F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] + q\frac{V}{P_2} [F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] \ s.t. \qquad 0\leq D_1 \leq F_1 \ $$ 这是带不等式约束的优化问题，可以用库恩—塔克方法(KKT条件)求解。

$$ L = (1-q)[F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] + q\frac{V}{P_2} [F_1 + aD_1(\frac{V}{P_1}-1)] + \mu_1(-D_1) + \mu_2(D_1-F_1) \ \begin{cases} \frac{\partial{L}}{\partial{D_1}} = (1-q)a(\frac{V}{P_1}-1) + aq\frac{V}{P_2}(\frac{V}{P_1}-1)-\mu_1 + \mu_2 = 0\ -D_1 \leq 0 \ D_1-F_1 \leq 0 \ \mu_i \geq 0 , i=1,2 \ \end{cases} $$ 可以证明，给定其他参数$（V, S_1, S, F_1, a）$，存在一个 $q^$，使得当 $q>q^$时，$D_1

套利者全投资情形

为了简化分析，我们只研究套利者在 1 时刻把所有资金都投入资产的情形（$D_1=F_1$）。按照前面给出的结论，这意味着假设 $q

我们来分析 2 时刻噪声交易者悲观认知进一步加大（$S_2=S>S_1$）的情形。将上式带入 2 时刻资产价格的决定方程中，并注意到此时 $S_2=S$，则有 $$ \begin{aligned} P_2 &= V - S_2 + F_2 \ &= V - S + F_1 + aF_1(\frac{P_2}{P_1} - 1) \end{aligned} $$ 从中可以解出, $$ P_2 = \frac{P_1[V-S+F_1(1-a)]}{P_1-aF_1} $$ 我们关心的是在不同情况下，噪声交易者的认知偏差 S 对时刻 2 资产价格的影响。由上式可知 $$ \frac{dp_2}{dS} = -\frac{p_1}{p_1-aF_1} < -1 $$ 而如果经济中完全不存在套利者（$F_1=0$），2 时刻资产价格为 $p_2=V-S$。此时 $\frac{d P_2}{dS}=-1$。

• 所以，当存在套利行为受限的套利者时，2 时刻的资产价格反而对噪声交易者的认知误差更加敏感（$\frac{d P_2}{dS}$ 绝对值更大）
• 换句话说，受限套利者的存在反而加大了 2 时刻资产价格的波动。进一步说，套利者时刻 2 资金量对其投资业绩越敏感（a 越大），时刻 2 资产价格对噪声交易者的认知误差越敏感（$\frac{d P_2}{dS}$ 绝对值越大）。
• 而如果经济中存在不受资金约束的套利者（其资金量无限），那么不管 2 时刻噪声交易者的认知偏差是多少，2 时刻的资产价格将必定为 V，此时 $\frac{d P_2}{dS}=0$。

将上面的逻辑理一下就是：

• 不受任何约束的套利者，可以将资产价格推回其基本面对应的水平，从而降低资产价格的波动。但如果套利者受到投资绩效的约束，那么他们的存在反而会放大资产价格的波动，反而让资产价格的波动性比不存在套利者时更高。之所以会这样，是因为噪声交易者所带来的短期不利价格波动让套利者短期亏损，从而让套利者的套利能力受损。这样，套利者对资产价格的需求也按照价格运动的方向来变化，从而放大了价格的波动。换言之，噪声交易者 2 时刻的认知偏差越大，就会让套利者在 1、2 两个时刻间的亏损越严重，从而导致套利者 2 时刻能够用来套利的资金量越小。这样，在最好套利机会出现的时候（2 时刻资产价格进一步下降时），套利的力量反而下降。

套利者不全投资情形

通过上面的分析，全投资与不全投资的区别只是在$\frac{d P_2}{dS}$上的区别，小于等于1的事实是不可避免的，那么反映在资产价格波动上就只是波动大于波动小的区分，不改变上面分析的结论；

模型的讨论

这个模型中所讨论的情况在现实中普遍存在，在中国资本市场上表现得尤其明显。短视投资者给基金经理带来短期业绩的压力——国内公募基金经理每日都会进行全市场排名。这让基金经理必须一定程度上跟随市场的短期情绪波动而“追涨杀跌”，偏离价值投资的基准。

在这样的情况下，我国的公募基金未能发挥出机构投资者所应有的市场稳定器的作用，反而在一定程度上放大了市场波动。上面介绍的这个模型就描述了这一状态背后的主要机制。

非理性偏差(ad hoc Assumption)

噪声交易者是对非理性行为的一种简化的，但同时也是不那么令人满意的假设。比如，在前面的 Shleifer 与 Vishny（1997）模型中假设噪声交易者是过度悲观的，会低估资产的价值。看到这一假设，我们自然会想，如果噪声交易者是过度乐观的会怎样。我们还可以想，噪声交易者一会过度悲观、一会过度乐观又会怎样。事实上，对噪声交易者的假设可以有无数种，而在每种假设下都能构建起一套逻辑。这种灵活性对理论分析来说是灾难。

每位金融研究者应牢记于心

• 如果我们可以对人的行为做任意的假设，那么我们看起来能够解释任何事情。比如，为了解释股价为什么今天涨了，我们可以说是因为今天的投资者过度乐观了。而如果明天股价又跌了，我们可以说明天投资者变得过度悲观了。这种所谓的理论其实只是把股价的涨跌换了种说法（投资者乐观与悲观）而已，没有任何解释力。也无法用其来增进我们对现实世界的理解，更不具有预测能力。
• 所以，任意做非理性的假设看起来能解释所有的事情，实际上什么也解释不了。因为我们做理论研究的目的，是要通过理论来预测未来。要做到这一点，需要在需要预测的事件与某些可观测的变量之间建立起稳定的关系——我们称之为规律。这样，就可以通过利用变量的观测和规律来推断未来。规律都是建立在推演规律时所作的假设之上的。如果任意做非理性的行为假设，那所推得的规律就只在特定假设上才会成立，而并非普遍适用。这样的规律就没有应用价值。
• 所以，理论研究必须在做假设时十分小心。只有在做假设时束缚住自己的手脚，理论才有解释力。在这方面，理性假设是一个构建理论的一个很好的纪律工具。因为理性是唯一的，而不像非理性那样有无穷种可能。

行为金融学之所以在近二十多年才取得长足的发展，关键原因是研究者找到了约束对非理性行为做假设的方法。研究者早就发现了市场中存在的非理性行为。但直到最近二三十年，心理学家通过实验确定了一些普遍存在的人的行为和认知偏差。从这些普遍存在且被公认的认知偏差出发来做非理性的假设，就避免了假设的任意性。也正因为此，行为金融学才进入了快速发展的轨道。

行为金融的发展障碍

而从逻辑上来看，行为金融学的发展还存在一个巨大障碍。对理性行为的最优对策是理性的行为。在金融市场中，如果你确定除你自己以外的所有交易者都是理性的，那么理性是你自己最好的选择。但是对非理性的行为偏差的最优对策不是非理性。因此，一旦行为金融学所引为前提的这些行为偏差为人所广泛知晓（行为金融学本身就起到了宣传这些行为偏差的作用），那么这些偏差是否会为其他理性投资者所利用，从而被打败和消失，存在很大疑问。

所以行为金融的目的是发现不理性的行为，利用市场的不理性行为来获取收益；但是一旦行为被人所广泛知晓，那么行为金融的也就随之结束，所以这个学科的创立是为了毁灭，这是行为金融不得不面对的最大障碍；

因此，行为金融学只能成为理性金融理论的一个有益的补充，但不可能取而代之。