C-CAPM模型

作者: pdnbplus | 发布时间: 2024/06/17 | 阅读量: 757

C-CAPM模型 -- 潘登同学的Quant笔记

C-CAPM与CAPM的区别

CAPM C-CAPM
perference M-V efficiency Expected Utility
Decision portfolio Optimization Decision under uncertainty
Equilibrium Partical(captial market) General(whole economy)
Asset pricing CAPM C-CAPM

期望效用理论

理性偏好

一个理性的偏好需要满足两个特点

  • Compete(完备性)： ∀ x , y ∈ X , x ≿ y o r y ≿ x \forall x,y \in \Chi, x \succsim y \quad or \quad y \succsim x
  • transitivity(传递性): x ≿ y , y ≿ z ⇒ x ≿ z x \succsim y, y \succsim z \Rightarrow x \succsim z

对于均方有效准则来说，就不满足完备性，因为在均值方差都不同的时候(A组合的均值小于B组合，但A组合的方差小于B组合)，均方有效准则就不能给出谁更优的判断了；

效用函数

如果一个理性偏好还满足连续性，就能用一个连续的效用函数来描述这种偏好

  • 连续性： 有一系列 { ( x n , y n } n = 1 ∞ , 有 x n ≿ y n ( ∀ n ) , 那么对 x = l i m n → ∞ x n 与 y = l i m n → ∞ y n , 必然有 x ≿ y \{(x^n,y^n\}_{n=1}^{\infty},有x^n\succsim y^n(\forall n),那么对x = lim_{n\to \infty} x^n与y = lim_{n\to \infty} y^n,必然有x\succsim y

如果一个偏好是理性且连续的，那么就可以用一个连续的函数 u ( x ) u(x) 来表示。

将效用拓展到不确定情况下

将前面的确定性情况下的偏好和效用理论拓展到不确定状况，有关键的三步

  1. Modelling choiceset under uncertainty
  2. Modelling Perference under uncertainty
  3. Finding Expected utility function

Modelling choiceset under uncertainty

用lottery(彩票)的形式来刻画，未来的可能结果

  • Simple lottery(简单彩票): L = ( p 1 , … , p N ) , p i ≥ 0 , ∑ n = 1 N p n = 1 L = (p_1,\ldots,p_N), p_i \geq 0, \sum_{n=1}^N p_n = 1
  • Compound lotter(复合彩票): 有K张Simple lottery L k = ( p 1 k , … , p N k ) , k = 1 , … , K , 概率 α k ≥ 0 L_k = (p_1^k,\ldots,p_N^k),k=1,\ldots,K,概率\alpha_k\geq 0 ,复合彩票 ( L 1 , … , L K ; α 1 , … , α K ) (L_1,\ldots,L_K;\alpha_1,\ldots,\alpha_K) 表示为以 α k \alpha_k 的概率产生结果 L k L_k ; (很显然复合彩票可以化为简单彩票)

所以我们只研究Simple lottery，并把所有简单彩票所组成的集合叫做彩票空间 L \mathcal{L} ;

Modelling Perference under uncertainty

Independence axiom(独立性公理)：
A , B , C ∈ L , ∀ α ∈ ( 0 , 1 ) A ≿ B ⇔ α A + ( 1 − α ) C ≿ α B + ( 1 − α ) C A,B,C\in \mathcal{L}, \quad \forall \alpha \in (0, 1) \\ A \succsim B \Leftrightarrow \alpha A + (1-\alpha)C \succsim \alpha B + (1-\alpha) C
实际上，这是一个比较强的假设，即假设A、C之间，B、C之间没有“化学反应”

期望效用定理： 在 L \mathcal{L} 上， Perference满足(compete，transitivity，continuous，Independence axion)，那么这种偏好就能表示成期望效用的形式
U ( L ) = ∑ n = 1 N p n u ( x n ) U(L) = \sum_{n=1}^Np_nu(x_n)

风险厌恶的度量

在图中，不确定性表现为未来消费的波动

在这里插入图片描述

从图中可以得到两点结论

  • 引入不确定性后，效用下降了 E u ( c ± △ ) < E u ( c ) Eu(c\pm\triangle)<Eu(c)
  • 边际效用递减地越快越是风险厌恶者，风险溢价就要更多(为了消除风险而支付的)

Coefficient of Absolute Risk Aversion(ARA)

a gamble(固定大小) : 以 π \pi 的概率赢得数额为h的钱，反之则输掉h的钱； 对于不同风险厌恶程度的人来说， π \pi 的数额至关重要，所以可以用 π \pi 对风险厌恶程度进行度量

u ( y ) = π ∗ u ( y + h ) + ( 1 − π ∗ ) π ( y − h ) = T a y l o r ( 在 y 处展开 ) π ∗ [ u ( y ) + h u ′ ( y ) + h 2 2 u ′ ′ ( y ) ] + ( 1 − π ∗ ) [ u ( y ) − h u ′ ( y ) + h 2 2 u ′ ′ ( y ) ] ⇛ 0 = ( 2 π ∗ − 1 ) h u ′ ( y ) + h 2 2 u ′ ′ ( y ) ⇛ π ∗ = 1 2 + h 4 [ − u ′ ′ ( y ) u ′ ( y ) ] \begin{aligned} u(y) &= \pi^*u(y+h) + (1-\pi^*)\pi(y-h)\\ &\overset{Taylor(在y处展开)}{=} \pi^*[u(y)+hu'(y)+\frac{h^2}{2}u''(y)] + (1-\pi^*)[u(y)-hu'(y)+\frac{h^2}{2}u''(y)] \\ \Rrightarrow 0&=(2\pi^*-1)hu'(y) + \frac{h^2}{2}u''(y) \\ \Rrightarrow \pi^*&=\frac{1}{2} + \frac{h}{4}[-\frac{u''(y)}{u'(y)}] \end{aligned}

定义绝对风险厌恶系数ARA
R A ( y ) ≡ − u ′ ′ ( y ) u ′ ( y ) R_A(y) \equiv -\frac{u''(y)}{u'(y)}

  • 对 u ′ ′ ( y ) u''(y) 表示效用的二阶导，二阶导越大，边际效用的下降的速度就越快，风险厌恶程度越大
  • 对 u ′ ( y ) u'(y) 取决于收入水平，收入水平越低值越大，风险厌恶程度越小

Coefficient of Relative Risk Aversion(RRA)

a gamble(固定比例) : 以 π \pi 的概率赢得数额为 θ y \theta y 的钱，反之则输掉 θ y \theta y 的钱；

u ( y ) = π ∗ u ( y + θ y ) + ( 1 − π ∗ ) π ( y − θ y ) = T a y l o r ( 在 y 处展开 ) π ∗ [ u ( y ) + θ y u ′ ( y ) + θ 2 2 y 2 u ′ ′ ( y ) ] + ( 1 − π ∗ ) [ u ( y ) − θ y u ′ ( y ) + θ 2 2 y 2 u ′ ′ ( y ) ] ⇛ 0 = ( 2 π ∗ − 1 ) θ y u ′ ( y ) + θ 2 2 y 2 u ′ ′ ( y ) ⇛ π ∗ = 1 2 + θ 4 [ − y u ′ ′ ( y ) u ′ ( y ) ] \begin{aligned} u(y) &= \pi^*u(y+\theta y) + (1-\pi^*)\pi(y-\theta y)\\ &\overset{Taylor(在y处展开)}{=} \pi^*[u(y)+\theta yu'(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u''(y)] + (1-\pi^*)[u(y)-\theta yu'(y)+\frac{\theta^2}{2}y^2u''(y)] \\ \Rrightarrow 0&=(2\pi^*-1)\theta yu'(y) + \frac{\theta^2}{2}y^2u''(y) \\ \Rrightarrow \pi^*&=\frac{1}{2} + \frac{\theta}{4}[-\frac{yu''(y)}{u'(y)}] \end{aligned}

定义相对风险厌恶系数RRA
R A ( y ) ≡ − y u ′ ′ ( y ) u ′ ( y ) R_A(y) \equiv -\frac{yu''(y)}{u'(y)}

常见的效用函数

  • CARA： ARA为常数
    U ( c ) = − e − α c R A ( c ) = α U(c) = -e^{-\alpha c} \\ R_A(c) = \alpha
  • CRRA: RRA为常数
    U ( c ) = c 1 − γ − 1 1 − γ R A ( c ) = γ U(c) = \frac{c^{1-\gamma}-1}{1-\gamma} \\ R_A(c) = \gamma
    当 γ = 1 \gamma=1 时，CRRA函数退化为对数效用函数 u ( c ) = l n c u(c)=lnc
  • linear:
    U ( c ) = α c U(c) = \alpha c
    一旦是liner就看不出风险厌恶了，至少展成二阶才能解释风险厌恶
  • 二次型效用或CARA+lognormal return
    U ( r ) = E ( r ) − A σ 2 ( r ) U(r) = E(r) - A\sigma^2(r)

用期望效用研究人面对风险的行为

投资组合优化问题(I)

结论： 无论一个人的风险厌恶程度多高，他都会投资一部分在风险资产上

无风险资产 风险资产
收益率 r f r_f r ~ \tilde{r}
投资数额 w 0 − a w_0-a a a

对于投资者来说
max ⁡ a E [ u ( w ~ ) ] = max ⁡ a E { u [ w 0 ( 1 + r f ) + a ( r ~ − r f ) ] } F O C : E { u ′ [ w 0 ( 1 + r f ) + a ( r ~ − r f ) ] ( r ~ − r f ) } = 0 \max_a E[u(\tilde{w})] = \max_a E\{u[w_0(1+r_f)+a(\tilde{r}-r_f)]\}\\ FOC: E\{u'[w_0(1+r_f)+a(\tilde{r}-r_f)](\tilde{r}-r_f)\} = 0
下证： a ∗ > 0 ⇔ E ( r ~ ) > r f a^*>0 \Leftrightarrow E(\tilde{r}) > r_f
( 充分性 ) 令 V ( a ) = E { u [ w 0 ( 1 + r f ) + a ( r ~ − r f ) ] } F O C : V ′ ( a ∗ ) = 0 ( a ∗ 的定义 ) V ′ ′ ( a ∗ ) = E { u ′ ′ [ w 0 ( 1 + r f ) + a ∗ ( r ~ − r f ) ] ( r ~ − r f ) 2 } < 0 ( u ′ ′ ( ⋅ ) < 0 ) ∴ V ′ ( a ∗ ) 是减函数 又 ∵ a ∗ > 0 ∴ V ′ ( 0 ) > V ′ ( a ∗ ) = 0 V ′ ( 0 ) = E { u ′ [ w 0 ( 1 + r f ) ] ( r ~ − r f ) } > 0 = u ′ [ w 0 ( 1 + r f ) ] E ( r ~ − r f ) > 0 又 ∵ u ′ ( ⋅ ) > 0 , ∴ E ( r ~ − r f ) > 0 ⇛ E ( r ~ ) > r f ( 必要性 ) 简单的将上面的过程从后往前即可 ( V ′ ( a ∗ ) 是减函数的部分先说明，其余从后往前 ) \begin{aligned} (充分性) &\qquad 令V(a) = E\{u[w_0(1+r_f)+a(\tilde{r}-r_f)]\}\\ FOC&: V'(a^*) = 0 \quad(a^*的定义) \\ V''(a^*) &= E\{u''[w_0(1+r_f)+a^*(\tilde{r}-r_f)](\tilde{r}-r_f)^2\} <0 \quad (u''(\cdot)<0)\\ \therefore &V'(a^*)是减函数\\ 又\because& a^* > 0 \quad \therefore V'(0) > V'(a^*) = 0 \\ V'(0) &= E\{u'[w_0(1+r_f)](\tilde{r}-r_f)\} > 0 \\ &=u'[w_0(1+r_f)]E(\tilde{r}-r_f) > 0 \\ 又\because &u'(\cdot) > 0, \quad \therefore E(\tilde{r}-r_f) > 0 \Rrightarrow E(\tilde{r}) > r_f \\ (必要性)& 简单的将上面的过程从后往前即可 \\ &(V'(a^*)是减函数的部分先说明，其余从后往前) \end{aligned}

这个命题的结论比它看起来更震撼。它说的是，只要风险资产的期望收益率高于无风险利率（哪怕幅度非常微小），风险厌恶的投资者就会愿意买入风险资产（而不管投资者的风险厌恶程度是多么的高）;

Arrow-Pratt 近似

接着上面的结论，Arrow-Pratt 近似给出了风险资产对一个完全持有无风险资产的人来说的两方面的影响

  • E U ∝ a EU \propto a (因为 E ( r ~ ) > r f E(\tilde{r}) > r_f )
  • E U ∝ 1 a 2 EU \propto \frac{1}{a^2}

当 a 2 a^2 很小的时候， a 2 < a a^2 < a ,所以只要 E ( r ~ ) > r f E(\tilde{r}) > r_f ,所有人都会持有一些风险资产；

下面给出相关证明：

  • 假设 x ~ \tilde{x} 一个均值为零的随机变量， E x ~ = 0 E\tilde{x}=0 ，表示风险
  • k k 是一个正的常数，用于调节风险 k x ~ k\tilde{x} 的大小
  • 假设人的初始财富为 w 0 w_0 , g ( k ) g(k) 为在这个初始财富上，对应 k x ~ k\tilde{x} 的风险溢价

根据上面的不确定条件上的期望效用的图，很容易写出如下等式(风险溢价的定义)
E u ( w 0 + k x ~ ) = u ( w 0 − g ( k ) ) Eu(w_0+k\tilde{x}) = u(w_0-g(k))

对上式左右两边对k求二阶导
E [ x ~ u ′ ( w 0 + k x ~ ) ] = − g ′ ( k ) u ′ ( w 0 − g ( k ) ) ( 1 ) E [ x ~ 2 u ′ ′ ( w 0 + k x ~ ) ] = − g ′ ′ ( k ) u ′ ( w 0 − g ( k ) ) + [ g ′ ( k ) ] 2 u ′ ′ ( w 0 − g ( k ) ) ( 2 ) \begin{aligned} E[\tilde{x}u'(w_0+k\tilde{x})] &= -g'(k)u'(w_0-g(k)) \qquad (1) \\ E[\tilde{x}^2u''(w_0+k\tilde{x})] &= -g''(k)u'(w_0-g(k)) + [g'(k)]^2u''(w_0-g(k)) \qquad (2)\\ \end{aligned}

当 k = 0 , g ( 0 ) = 0 , g ′ ( 0 ) = 0 ( 由 ( 1 ) 式 ) k=0,g(0)=0,g'(0)=0(由(1)式) ,将0代入(2)式，得
g ′ ′ ( 0 ) = − u ′ ′ ( w 0 ) u ′ ( w 0 ) E x ~ 2 g''(0) = -\frac{u''(w_0)}{u'(w_0)}E\tilde{x}^2
接着对 g ( k ) 在 k = 0 g(k)在k=0 处做泰勒展开，展到二次项
g ( k ) ≈ g ( 0 ) + k g ′ ( 0 ) + 1 2 k 2 g ′ ′ ( 0 ) = 1 2 k 2 R A ( w 0 ) E x ~ 2 \begin{aligned} g(k) &\approx g(0) + kg'(0) + \frac{1}{2}k^2g''(0) \\ &= \frac{1}{2}k^2R_A(w_0)E\tilde{x}^2 \end{aligned}

回到投资组合优化问题(I)

无风险资产 风险资产
收益率 r f r_f r ~ \tilde{r}
投资数额 w 0 − a w_0-a a a
  • 投资者期末的财富为:
    w ~ = w 0 ( 1 + r f ) + a ( r ~ − r f ) = w 0 ( 1 + r f ) + a ( μ − r f ) + a ( r ~ − μ ) = w ˉ + a ϵ ~ \begin{aligned} \tilde{w} &= w_0(1+r_f) + a(\tilde{r} - r_f) \\ &= w_0(1+r_f) + a(\mu-r_f) + a(\tilde{r} - \mu) \\ &= \bar{w} + a\tilde{\epsilon} \end{aligned}
    其中 μ = E [ r ~ ] , w ˉ = w 0 ( 1 + r f ) + a ( μ − r f ) , ϵ ~ = r ~ − μ , E [ ϵ ~ ] = 0 \mu=E[\tilde{r}] ,\quad \bar{w} = w_0(1+r_f) + a(\mu-r_f) ,\quad \tilde{\epsilon}=\tilde{r} - \mu,\quad E[\tilde{\epsilon}] = 0
    E u ( w ˉ + a ϵ ~ ) = u ( w ˉ − g ( a ) ) ( ∗ ) ⇒ g ( a ) ≈ 1 2 a 2 R A ( w ˉ ) E ϵ ~ 2 ⇒ g ( a ) a 2 ≈ 1 2 R A ( w ˉ ) E ϵ ~ 2 ( 常数 ) Eu(\bar{w} + a\tilde{\epsilon}) = u(\bar{w} - g(a)) \quad (*)\\ \Rightarrow g(a) \approx \frac{1}{2}a^2R_A(\bar{w})E\tilde{\epsilon}^2 \\ \Rightarrow \frac{g(a)}{a^2} \approx \frac{1}{2}R_A(\bar{w})E\tilde{\epsilon}^2 \quad(常数) \\
    当 a → 0 a\to 0 时，有以下极限关系式成立
    a ( μ − r f ) − g ( a ) a 2 = μ − r f a − g ( a ) a − → + ∞ \frac{a(\mu-r_f)-g(a)}{a^2} = \frac{\mu-r_f}{a} - \frac{g(a)}{a} -\to +\infty
    因此当 a a 是足够小的正数时候，必然有 a ( μ − r f ) − g ( a ) > 0 a(\mu-r_f)-g(a)>0 ,有以下不等式成立
    w ˉ − g ( a ) = w 0 ( 1 + r f ) + a ( μ − r f ) − g ( a ) > w 0 ( 1 + r f ) \bar{w} - g(a) = w_0(1+r_f) + a(\mu-r_f) - g(a) > w_0(1+r_f)
    因此有
    u ( w 0 ( 1 + r f ) ) < u ( w ˉ − g ( a ) ) = E u ( w ˉ + a ϵ ~ ) = E u ( w ~ ) u(w_0(1+r_f)) < u(\bar{w} - g(a)) = Eu(\bar{w} + a\tilde{\epsilon}) = Eu(\tilde{w})
    所以只要 E ( r ~ ) > r f E(\tilde{r}) > r_f ，将一部分( a a )资产投在无风险资产上是有利可图的； 接着稍微改写一下期末资产的确定性等值， ( ∗ ) (*) 左边是不确定值，右边是确定值
    w ˉ − g ( a ) = w 0 ( 1 + r f ) + a ( μ − r f ) − g ( a ) ≈ w 0 ( 1 + r f ) + a ( μ − r f ) − 1 2 a 2 R A ( w ˉ ) E ϵ ~ 2 \begin{aligned} \bar{w} - g(a) & = w_0(1+r_f) + a(\mu-r_f) - g(a) \\ &\approx w_0(1+r_f) + a(\mu-r_f) - \frac{1}{2}a^2R_A(\bar{w})E\tilde{\epsilon}^2 \end{aligned}
    这个式子自然验证了
  • E U ∝ a EU \propto a
  • E U ∝ 1 a 2 EU \propto \frac{1}{a^2}

投资组合优化问题(II) -- 定性分析

由**投资组合优化问题(I)**的一阶条件得知， a ∗ a^* 是其初始函数 w 0 w_0 的函数
F O C : E { u ′ [ w 0 ( 1 + r f ) + a ( r ~ − r f ) ] ( r ~ − r f ) } = 0 FOC: E\{u'[w_0(1+r_f)+a(\tilde{r}-r_f)](\tilde{r}-r_f)\} = 0
接下来研究，不同初始财富对风险投资量 a ∗ a^* 的影响;

结论：随着财富增加，ARA(绝对风险厌恶系数)递减 R A ′ ( w 0 ) < 0 ⇔ a ∗ ′ ( w 0 ) > 0 R_A'(w_0)<0 \Leftrightarrow {a^{*}}'(w_0)>0 投到风险资产上的资产增加

下面给出相关证明:

( 充分性 ) R A ′ ( w 0 ) < 0 ⇒ a ∗ ′ ( w 0 ) > 0 F O C : E { u ′ [ w 0 ( 1 + r f ) + a ∗ ( r ~ − r f ) ] ( r ~ − r f ) } = 0 对 w 0 求导 : E { u ′ ′ [ w 0 ( 1 + r f ) + a ∗ ( r ~ − r f ) ] ( r ~ − r f ) [ ( 1 + r f ) + ( r ~ − r f ) d a ∗ d w 0 ] } = 0 将 : w 0 ( 1 + r f ) + a ∗ ( r ~ − r f ) 记为 w ~ 上式为 : ( 1 + r f ) E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] + E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 d a ∗ d w 0 ] = 0 (充分性) \quad R_A'(w_0)<0 \Rightarrow {a^{*}}'(w_0)>0 \\ \begin{aligned} FOC:& E\{u'[w_0(1+r_f)+a^*(\tilde{r}-r_f)](\tilde{r}-r_f)\} = 0 \\ 对w_0求导:& E\{u''[w_0(1+r_f)+a^*(\tilde{r}-r_f)](\tilde{r}-r_f)[(1+r_f)+(\tilde{r}-r_f)\frac{da^*}{dw_0}]\} = 0 \\ 将:& w_0(1+r_f)+a^*(\tilde{r}-r_f) 记为 \tilde{w} \\ 上式为:& (1+r_f) E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)]+E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2 \frac{da^*}{dw_0}] = 0 \\ \end{aligned}

由于 d a ∗ d w 0 \frac{da^*}{dw_0} 不是随机变量(因为 a ∗ a^* 是事前决定的)
d a ∗ d w 0 = − ( 1 + r f ) E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] \frac{da^*}{dw_0} = -\frac{(1+r_f) E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)]}{E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]}

  • ( 1 + r f ) > 0 (1+r_f)>0
  • u ′ ′ ( ⋅ ) < 0 u''(\cdot)<0
  • ( r ~ − r f ) 2 > 0 (\tilde{r}-r_f)^2>0

d a ∗ d w 0 的符号 = E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] 的符号 \frac{da^*}{dw_0} 的符号 = E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)] 的符号
用ARA替换 u ′ ′ ( w ~ ) u''(\tilde{w}) , R A ( y ) ≡ − u ′ ′ ( y ) u ′ ( y ) R_A(y) \equiv -\frac{u''(y)}{u'(y)}
E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] = E [ − u ′ ( w ~ ) R A ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] = ∑ n = 1 N P n ( − u ′ ( w n ) R A ( w n ) ( r n − r f ) ) \begin{aligned} E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)] &= E[-u'(\tilde{w})R_A(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)] \\ &= \sum_{n=1}^N P_n (-u'(w_n)R_A(w_n)(r_n-r_f)) \end{aligned}
其中， w n w_n 为第n种情况下，投资者期末的财富值， r n r_n 为第n种情况下的风险资产回报率； 接下来对 r n r_n 分类讨论

  • 当 r n ≥ r f r_n \geq r_f 时,
    ∵ a ∗ > 0 , 则必有 w n ≥ w 0 ( 1 + r f ) 又 ∵ R A ′ ( w 0 ) < 0 , R A ( w n ) ( r n − r f ) ≤ R A ( w 0 ( 1 + r f ) ) ( r n − r f ) ( ∗ 1 ) \because a^* > 0, 则必有 w_n \geq w_0(1+r_f) \\ 又\because R_A'(w_0)<0, \\ R_A(w_n)(r_n-r_f) \leq R_A(w_0(1+r_f))(r_n-r_f) \qquad (*1)

  • 当 r n < r f r_n < r_f 时,
    ∵ a ∗ > 0 , 则必有 w n < w 0 ( 1 + r f ) 又 ∵ R A ′ ( w 0 ) < 0 , R A ( w n ) ( r n − r f ) ≤ R A ( w 0 ( 1 + r f ) ) ( r n − r f ) ( ∗ 2 ) \because a^* > 0, 则必有 w_n < w_0(1+r_f) \\ 又\because R_A'(w_0)<0, \\ R_A(w_n)(r_n-r_f) \leq R_A(w_0(1+r_f))(r_n-r_f) \qquad (*2)

对 ( ∗ 1 ) 与 ( ∗ 2 ) (*1)与(*2) 加上边际效用大于零 u ′ ( w ) > 0 u'(w)>0
( − u ′ ( w n ) ) R A ( w n ) ( r n − r f ) ≥ ( − u ′ ( w n ) ) R A ( w 0 ( 1 + r f ) ) ( r n − r f ) 又 ∵ r n = r f 不恒成立，上面不等号取严格不等号 ⇒ ∑ n = 1 N P n ( − u ′ ( w n ) R A ( w n ) ( r n − r f ) ) > ∑ n = 1 N P n ( − u ′ ( w n ) ) R A ( w 0 ( 1 + r f ) ) ( r n − r f ) = E [ ( − u ′ ( w ~ ) ) R A ( w 0 ( 1 + r f ) ) ( r ~ − r f ) ] = − R A ( w 0 ( 1 + r f ) ) E [ u ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] = 0 ( E [ u ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] = 0 是一阶条件 ) (-u'(w_n))R_A(w_n)(r_n-r_f) \geq (-u'(w_n))R_A(w_0(1+r_f))(r_n-r_f) \\ 又\because r_n = r_f不恒成立，上面不等号取严格不等号 \\ \begin{aligned} \Rightarrow \sum_{n=1}^N P_n (-u'(w_n)R_A(w_n)(r_n-r_f)) &> \sum_{n=1}^N P_n(-u'(w_n))R_A(w_0(1+r_f))(r_n-r_f) \\ &= E[(-u'(\tilde{w}))R_A(w_0(1+r_f))(\tilde{r}-r_f)] \\ &= -R_A(w_0(1+r_f))E[u'(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)] \\ &= 0 \qquad (E[u'(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)]=0是一阶条件) \end{aligned}

所以, d a ∗ d w 0 的符号 = E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] 的符号 = + \frac{da^*}{dw_0} 的符号 = E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)] 的符号 = + ,所以 a ∗ ′ ( w 0 ) > 0 {a^{*}}'(w_0)>0 ;

必要性的证明也用上面的框架，稍微改一下就能得证...

除了DARA的结论： R A ′ ( w 0 ) < 0 ⇔ a ∗ ′ ( w 0 ) > 0 R_A'(w_0)<0 \Leftrightarrow {a^{*}}'(w_0)>0 ，还有类似的两个(CARA,IARA)

  • R A ′ ( w 0 ) < 0 ⇔ a ∗ ′ ( w 0 ) > 0 R_A'(w_0)<0 \Leftrightarrow {a^{*}}'(w_0)>0 (DARA)
  • R A ′ ( w 0 ) = 0 ⇔ a ∗ ′ ( w 0 ) = 0 R_A'(w_0)=0 \Leftrightarrow {a^{*}}'(w_0)=0 (CARA)
  • R A ′ ( w 0 ) > 0 ⇔ a ∗ ′ ( w 0 ) < 0 R_A'(w_0)>0 \Leftrightarrow {a^{*}}'(w_0)<0 (IARA)

在现实世界中，财富越多的人通常会在风险资产上投资更多,因此，从现实世界的观察来推断，人们大概应该都是绝对风险厌恶程度下降（DARA）的。这样的人，财富越多，投资在风险资产上的财富量就越大。

投资组合优化问题(II) -- 定量分析

上面只是解决了不同风险厌恶水平下，财富与风险资产财富分配的定性分析，而我们想知道当初始财富 w 0 w_0 增加1%的时候， a ∗ a^* 会增加百分之多少，即定量问题

  • 定义 a ∗ 对 w 0 a^*对w_0 的弹性 e ( w 0 ) e(w_0) ,(初始财富 w 0 w_0 增加1%的时候， a ∗ a^* 会增加百分之多少)
    e ( w 0 ) ≜ d a ∗ a ∗ / d w 0 w 0 e(w_0) \triangleq \frac{da^*}{a^*} / \frac{dw_0}{w_0}

先给出结论

  • R R ′ ( w 0 ) < 0 ⇔ e ( w 0 ) > 1 R_R'(w_0)<0 \Leftrightarrow e(w_0)>1 (DRRA)
    • 如果是DRRA，随着经济增长，财富增长，持有的风险资产比例随之增加
  • R R ′ ( w 0 ) = 0 ⇔ e ( w 0 ) = 1 R_R'(w_0)=0 \Leftrightarrow e(w_0)=1 (CRRA)
    • 如果是CRRA，随着经济增长，财富增长，持有的风险资产比例不变
  • R R ′ ( w 0 ) > 0 ⇔ e ( w 0 ) < 1 R_R'(w_0)>0 \Leftrightarrow e(w_0)<1 (IARA)
    • 如果是IRRA，随着经济增长，财富增长，持有的风险资产比例随之减少

e ( w 0 ) = w 0 a ∗ d a ∗ d w 0 = − w 0 ( 1 + r f ) E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] a ∗ E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] e ( w 0 ) − 1 = − w 0 ( 1 + r f ) E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] + a ∗ E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] a ∗ E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] = − E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ( w 0 ( 1 + r f ) + a ∗ ( r ~ − r f ) ) ] a ∗ E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] = − 1 a ∗ E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) w ~ ] E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] = − 1 a ∗ E [ − u ′ ( w ~ ) R R ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] E [ u ′ ′ ( w ~ ) ( r ~ − r f ) 2 ] ( R A ( y ) ≡ − u ′ ′ ( y ) u ′ ( y ) ) \begin{aligned} e(w_0) &= \frac{w_0}{a^*} \frac{da^*}{dw_0} = -\frac{w_0(1+r_f) E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)]}{a^*E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]} \\ e(w_0) -1 &=-\frac{w_0(1+r_f) E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)]+a^*E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]}{a^*E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]} \\ &=-\frac{ E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)(w_0(1+r_f)+a^*(\tilde{r}-r_f))]}{a^*E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]} \\ &=-\frac{1}{a^*}\frac{ E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)\tilde{w}]}{E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]} \\ &=-\frac{1}{a^*}\frac{ E[-u'(\tilde{w})R_R(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)]}{E[u''(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)^2]} \qquad (R_A(y) \equiv -\frac{u''(y)}{u'(y)})\\ \end{aligned}

接着 e ( w 0 ) − 1 e(w_0) -1 的符号 = E [ − u ′ ( w ~ ) R R ( w ~ ) ( r ~ − r f ) ] E[-u'(\tilde{w})R_R(\tilde{w})(\tilde{r}-r_f)] 的符号，对 r n r_n 分类讨论，构造一个不等式，分别对 R R ′ ( w 0 ) R_R'(w_0) 分类讨论，得到 e ( w 0 ) − 1 e(w_0) -1 的符号，基本套路与上面的证明一致，这里省略...

在现实世界中，居民持有的财富在几百年来持续上升。如果人是 IRRA 或 DRRA 的偏好，那么我们应该观察到财富逐步被完全投资在风险资产上，或是完全投资到无风险资产上。但在现实中，投资在风险资产上的财富比例大致保持不变。因此，CRRA 是贴近现实偏好的效用函数形式。所以，在经济与金融分析中，CRRA 型效用函数应用得最为广泛。

风险与储蓄

确定性条件下的储蓄

符号 说明
初始财富 w w
储蓄 s s
时间价值 δ \delta 人心不耐的折扣
回报率 R R 总回报率 R = 1 + r R=1+r

max ⁡ s u ( w − s ) + δ u ( s R ) F O C : u ′ ( w − s ) = δ u ′ ( s R ) R 两边对 R 求导， ( s 是 R 的函数， s ( R ) ) − d s d R u ′ ′ ( w − s ) = δ u ′ ( s R ) + δ R [ u ′ ′ ( s R ) ( s + R d s d R ) ] d s d R = δ u ′ ( s R ) + δ s R u ′ ′ ( s R ) − u ′ ′ ( w − s ) − δ R u ′ ′ ( s R ) \begin{aligned} \max_s& u(w-s) + \delta u(sR) \\ FOC:& u'(w-s) = \delta u'(sR) R \\ 两边对R&求导，(s是R的函数，s(R)) \\ -\frac{ds}{dR}u''(w-s) &= \delta u'(sR) + \delta R[u''(sR)(s+R\frac{ds}{dR})] \\ \frac{ds}{dR} &=\frac{\delta u'(sR)+\delta sRu''(sR)}{-u''(w-s)-\delta Ru''(sR)} \end{aligned}
对于分母， u ′ ′ ( ⋅ ) < 0 u''(\cdot)<0 ,所以分母大于0
d s d R 的符号 = δ u ′ ( s R ) + δ s R u ′ ′ ( s R ) 的符号 \frac{ds}{dR}的符号 = \delta u'(sR)+\delta sRu''(sR)的符号
δ u ′ ( s R ) + δ s R u ′ ′ ( s R ) = δ u ′ ( s R ) [ 1 + s R u ′ ′ ( s R ) u ′ ( s R ) ] = δ u ′ ( s R ) [ 1 − R R ( s R ) ] \begin{aligned} \delta u'(sR)+\delta sRu''(sR) &= \delta u'(sR)[1+\frac{sRu''(sR)}{u'(sR)}] \\ &= \delta u'(sR)[1-R_R(sR)] \end{aligned}

  • 如果 R R ( s R ) < 1 , d s d R > 0 R_R(sR) < 1, \frac{ds}{dR} > 0 ,当R上升的时候，saving上升
  • 如果 R R ( s R ) > 1 , d s d R < 0 R_R(sR) > 1, \frac{ds}{dR} < 0 ,当R上升的时候，saving下降

回顾储蓄的两个效应

  • substitution effect(替代效应)： 今天储蓄在明天产生的财富更多，促使消费者多储蓄、少消费
  • Income effect(收入效应): R越高，今明两天的总财富就越多，今天就应该多消费

在这里插入图片描述

而上面的结论则说明了这两个效应孰强孰弱是由RRA决定!

资源跨时间、跨状态的平滑配置

  • Intertemporary 跨期调配
    max ⁡ w 1 , w 2 = u ( w 1 ) + δ u ( w 2 ) s . t . w 1 + w 2 = w F O C : u ′ ( w 1 ) = δ u ′ ( w 2 ) \max_{w_1,w_2} = u(w_1) + \delta u(w_2) \\ s.t. \quad w_1 + w_2 = w \\ FOC: u'(w_1) = \delta u'(w_2)
    一阶条件表示当期边际效用等于末期贴现的边际效用

  • 跨状态调配
    max ⁡ w 1 , w 2 = P 1 u ( w 1 ) + P 2 u ( w 2 ) s . t . w 1 + w 2 = w F O C : P 1 u ′ ( w 1 ) = P 2 u ′ ( w 2 ) \max_{w_1,w_2} = P_1 u(w_1) + P_2 u(w_2) \\ s.t. \quad w_1 + w_2 = w \\ FOC: P_1u'(w_1) = P_2 u'(w_2)
    一阶条件表示某情形下边际效用等于另一种情形下的边际效用

上面两个一阶条件表明

  • 在考虑贴现后，消费者会在两个时点之间平滑财富配置
  • 在考虑概率后，消费者会在两个状态之间平滑财富配置

最终平滑配置的结论：

  • 风险厌恶度越大的人，跨期平滑配置的意愿更强
  • 替代效应会促使人们做出非平滑配置(如上图所示，会使一个增加一个减少)
  • 收入效应会促使人们做出平滑配置(如上图所示，两个都增加)

不确定情况下的储蓄

前面研究了当 E ( R ~ ) E(\tilde{R}) 变化的时候，saving的变化； 按照金融的逻辑，肯定还要研究当 R ~ \tilde{R} 的风险变大的时候，saving的变化；

  • 对 R ~ \tilde{R} 做一个mean-preserving spread(保均展形)
    在这里插入图片描述

对于这个问题有两种效应

  • 替代效应： 如果回报率的风险度上升，那么意味着储蓄的价值下降，这时还不如减少储蓄，增加当前确定的消费。
  • 预防性储蓄：还有人可能会认为正因为未来不确定性上升，所以更应该多储蓄来为未来可能出现的不利局面做好准备。

下面给出证明：
max ⁡ s u ( w − s ) + δ E [ u ( s R ~ ) ] F O C : u ′ ( w − s ) = δ E [ R ~ u ′ ( s R ~ ) ] 将等式 左边记为 L H S ，右边记为 R H S d L H S d s > 0 ⇒ d R H S d s > 0 \begin{aligned} \max_s& u(w-s) + \delta E[u(s\tilde{R})] \\ FOC:& u'(w-s) = \delta E[\tilde{R}u'(s\tilde{R})] \\ 将等式&左边记为LHS ，右边记为RHS \\ \frac{dLHS}{ds} &> 0 \Rightarrow \frac{dRHS}{ds} > 0 \end{aligned}
令 g ( R ) ≜ R u ′ ( s R ) g(R)\triangleq Ru'(sR) ,当 g ( R ) g(R) 为凸函数时，
σ 2 ( R ) ↑ ⇒ R H S ↑ ⇒ d R H S d s > 0 \sigma^2(R) \uparrow \Rightarrow RHS \uparrow \Rightarrow \frac{dRHS}{ds} > 0
在这里插入图片描述

g ′ ( R ) = u ′ ( s R ) + s R u ′ ′ ( s R ) ⇒ g ′ ′ ( R ) = 2 s u ′ ′ ( s R ) + s 2 R u ′ ′ ′ ( s R ) = s u ′ ′ ( s R ) [ 2 − P R ( s R ) ] \begin{aligned} g'(R) &= u'(sR) + sRu''(sR) \\ \Rightarrow g''(R) &= 2su''(sR) + s^2R u'''(sR) \\ &=su''(sR)[2-P_R(sR)] \end{aligned}
P R ( y ) ≜ − y u ′ ′ ′ ( y ) u ′ ′ ( y ) P_R(y) \triangleq -\frac{yu'''(y)}{u''(y)} ,称为相对审慎系数； 类似地，还有绝对审慎系数， P A ( y ) ≜ − u ′ ′ ′ ( y ) u ′ ′ ( y ) P_A(y) \triangleq -\frac{u'''(y)}{u''(y)} (根据之前讨论组合优化的问题一样，还可以考虑绝对审慎系数与风险扩大对saving量的变化，这里就不再做讨论了)； 下面给出不确定下储蓄与风险变化的定性结论：

  • 当 P R ( s R ) < 2 , g ′ ′ ( R ) < 0 P_R(sR) <2, g''(R)<0 , g ( R ) g(R) 为凹函数， σ 2 ( R ) ↑ ， s a v i n g ↓ \sigma^2(R) \uparrow ，saving \downarrow
  • 当 P R ( s R ) > 2 , g ′ ′ ( R ) > 0 P_R(sR) >2, g''(R)>0 , g ( R ) g(R) 为凸函数， σ 2 ( R ) ↑ ， s a v i n g ↑ \sigma^2(R) \uparrow ，saving \uparrow (越是审慎的人，预防性动机超过了替代效应)

求解完备市场中的一般均衡

假设与相关记号

假设：

  • non-storable 消费品不可储存
  • endownment economy 禀赋经济(每时期的消费品由外生决定)
  • 只考虑两个时期(0期(现在)，1期(未来))
  • 未来有 S S 种状态， S = { s 1 , … , s S } S = \{s_1,\ldots,s_S\} ,状态 s s 发生的概率为 π s \pi_s , ∑ n = 1 S π s = 1 \sum_{n=1}^S \pi_s = 1 , Π = { π s , s ∈ S } \Pi = \{\pi_s,s\in S\} 称为概率测度
  • 假设总共有 J J 种可交易的资产，每个资产在每种状态下有不同的支付记为
    X j = [ x 1 j ⋮ x S j ] S × 1 \mathbb{X}^j = \begin{bmatrix*} x_1^j \\ \vdots \\ x_S^j \\ \end{bmatrix*}_{S\times 1}
    那么J中资产的payoff matrix为
    X ≜ [ x 1 1 ⋯ x 1 J ⋮ ⋱ ⋮ x S 1 ⋯ x S J ] S × J \mathbb{X} \triangleq \begin{bmatrix*} x_1^1 &\cdots &x_1^J \\ \vdots &\ddots &\vdots\\ x_S^1 &\cdots &x_S^J\\ \end{bmatrix*}_{S\times J}
    当然也可以写成
    X ≜ [ X 1 1 ⋯ X 1 J ] 1 × J \mathbb{X} \triangleq \begin{bmatrix*} \mathbb{X}_1^1 &\cdots &\mathbb{X}_1^J \\ \end{bmatrix*}_{1\times J}
  • 对各类资产持有量组成的向量 θ = ( θ 1 , … , θ J ) T \mathbb{\theta} = (\theta_1, \ldots,\theta_J)^T 叫做资产组合，那么portfolio payoff就是
    X θ ≜ [ ∑ j = 1 J θ j x 1 j ⋮ ∑ j = 1 J θ j x S j ] S × 1 \mathbb{X}\mathbb{\theta} \triangleq \begin{bmatrix*} \sum_{j=1}^J \theta_jx_1^j \\ \vdots \\ \sum_{j=1}^J \theta_jx_S^j\\ \end{bmatrix*}_{S\times 1}
  • 各个资产在0期的价格为 P \mathbb{P} ,
    P ≜ [ P 1 , … , P J ] 1 × J \mathbb{P} \triangleq [P_1,\ldots,P_J]_{1\times J}
    则组合在0期的价格为 P θ \mathbb{P}\mathbb{\theta} ;

完备市场

∀ C = ( c 1 , c 2 , … , c S ) T ∃ θ = ( θ 1 , … , θ J ) T s . t . C s = ∑ j = 1 J θ j x s j , s = 1 , … , S \begin{aligned} \forall C &= (c_1,c_2,\ldots,c_S)^T \\ \exist \theta &= (\theta_1, \ldots,\theta_J)^T \\ s.t. \quad &C_s = \sum_{j=1}^J \theta_j x_s^j, \quad s = 1,\ldots,S \end{aligned}
若 θ \theta 有解则资本市场是完备的;更简洁地，
X θ = C 有解 ⇔ X 满秩 ⇔ 资本市场是完备的 \mathbb{X}\mathbb{\theta} = C有解 \Leftrightarrow \mathbb{X}满秩 \Leftrightarrow 资本市场是完备的

而满秩的必要条件是资产数要大于等于状态数；

完备市场本质上就是说资本市场能满足所有消费者的资源跨期配置需求；

我们为什么要特别地关心完备市场？原因有三。

  1. 所有的完备市场都是等价的，等价于 Arrow-Debreu 市场。因此，在任意一个完备市场中得到的结论对所有完备市场都是适用的。
  2. 在完备市场中，消费者由于可以通过买卖资产来实现任意两个状态中资源的转换，所以消费者有最高的灵活度，可以达到最高的福利。换言之，在完备市场中可以实现最有效的风险的配置。
  3. 完备的市场处理起来比非完备市场容易很多。完备的市场都是一样的，但非完备的市场各有各非完备的方式。

Arrow Debreu市场

  • 支付矩阵为 I I (单位阵)
  • 其证券为Arrow证券(只在某一状态下有1单位的支付)(因为满秩矩阵 ⟶ 线性变换 I \stackrel{线性变换}{\longrightarrow} I ，资产 ⟶ 组合 \stackrel{组合}{\longrightarrow} Arrow 证券)
  • Arrow证券 I s I_s 在0期的价格为 ϕ s \phi_s
    Φ ≜ [ ϕ z , … , ϕ S ] \Phi \triangleq [\phi_z,\ldots,\phi_S]
  • 无风险资产在0期的价格，必然等于所有Arrow证券的价格之和
    ρ = ∑ s = 1 S ϕ s \rho = \sum_{s=1}^S\phi_s

均衡求解

Step 1:Individual optimization problem

对每一个消费者k来说，都要满足下面的最优化( c 0 , c s , e 0 , e s c_0,c_s,e_0,e_s 全是关于k的函数)

max ⁡ θ J × 1 u ( c 0 ) + δ ∑ s = 1 S π s u ( c s ) s . t . { c 0 = e 0 − ∑ j = 1 J P j θ j c s = e s + ∑ j = 1 J x s j θ j s = 1 , 2 , … , S \max_{\theta_{J\times 1}} u(c_0) + \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s) \\ s.t. \begin{cases} \quad c_0 = e_0 - \sum_{j=1}^JP_j \theta_j \\ \quad c_s = e_s + \sum_{j=1}^Jx^j_s \theta_j \quad s=1,2,\ldots,S\\ \end{cases}

上面的完备市场的均衡等价于Arrow Debreu市场的均衡

max ⁡ θ S × 1 u ( c 0 ) + δ ∑ s = 1 S π s u ( c s ) s . t . { c 0 = e 0 − ∑ s = 1 S ϕ s θ j c s = e s + θ s s = 1 , 2 , … , S ⇒ c 0 = e 0 − ∑ s = 1 S ϕ s ( c s − e s ) \max_{\theta_{S\times 1}} u(c_0) + \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s) \\ s.t. \begin{cases} \quad c_0 = e_0 - \sum_{s=1}^S\phi_s \theta_j \\ \quad c_s = e_s + \theta_s \quad s=1,2,\ldots,S\\ \end{cases} \\ \Rightarrow c_0 = e_0 - \sum_{s=1}^S\phi_s(c_s-e_s)

构造拉格朗日函数
L = u ( c 0 ) + δ ∑ s = 1 S π s u ( c s ) + λ [ − c 0 + e 0 − ∑ s = 1 S ϕ s ( c s − e s ) ] F O C : { ∂ L ∂ c 0 = 0 ⇒ u ′ ( c 0 ) − λ = 0 ∂ L ∂ c s = 0 ⇒ δ π s u ′ ( c s ) − λ ϕ s = 0 ⇒ ϕ s = δ π s u ′ ( c s ) u ′ ( c 0 ) ⇒ ϕ 1 ϕ 2 = π 1 u ′ ( c 1 ) π 2 u ′ ( c 2 ) L = u(c_0) + \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s) + \lambda[-c_0 + e_0 - \sum_{s=1}^S\phi_s(c_s-e_s)] \\ FOC: \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial c_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad u'(c_0)-\lambda=0\\ \frac{\partial L}{\partial c_s} = 0 \quad \Rightarrow \quad \delta\pi_su'(c_s)-\lambda\phi_s=0\\ \end{cases} \\ \Rightarrow \phi_s = \delta \pi_s\frac{u'(c_s)}{u'(c_0)} \\ \Rightarrow \frac{\phi_1}{\phi_2} = \frac{\pi_1 u'(c_1)}{\pi_2 u'(c_2)}

Arrow证券反映了边际效用：当一个人的效用达到最大化时，在不同状态下的边际效用(乘上概率)之比，等于不同状态对应的Arrow证券价格之比；

Step 2:Market clear

前面解出的每一个消费者的消费集 { c 0 , c 1 , … , c S } \{c_0,c_1,\ldots,c_S\} (全是用Arrow证券价格表示的)，在根据市场出清，就能解出Arrow证券的价格，进而得到均衡水平的消费集
∑ k = 1 K e 0 k = ∑ k = 1 K c 0 k ∑ k = 1 K e s k = ∑ k = 1 K c s k s = 1 , … , S \begin{aligned} \sum_{k=1}^K e_0^k &= \sum_{k=1}^K c_0^k \\ \sum_{k=1}^K e_s^k &= \sum_{k=1}^K c_s^k \quad s=1,\ldots,S \\ \end{aligned}

完备市场中一般均衡的性质

三个问题

  • 均衡是否存在？
  • 均衡到底好不好？
  • 均衡中资产价格怎么确定？

回答上面三个的问题的答案是

  • 在相当宽泛的条件下，一般均衡是存在的
  • 判定一般均衡好不好的方法是： 是否实现了帕累托最优(在不降低其他人的效用的前提下，增加某个人的效用，那么就不是帕累托最优)(帕累托最优指的是efficiency最优)
  • C-CAPM模型

Parteo OPtimality

什么情况下资源得到了最有效的利用而没有任何浪费？假设我们站在“上帝”的角度，拥有经济中所有资源的支配权，并且拥有所有的信息。如果这个“上帝”是一个精于计算的，并且愿意尽可能提升所有人福利的神，那么他会做出的资源配置就一定是最有效率的。在经济和金融分析中，我们用一个宗教气息没有那么浓的称谓来称呼前面说的这个上帝，我们将其称为中央计划者（central planner）。这个中央计划者有无限的信息获取和资源配置权，并且关心所有人的福利。中央计划者会做出的资源配置就是帕累托最优。

  • 我们假设经济中存在 K K 位消费者。每位消费者在中央计划者心中的相对重要性以权重 μ k \mu_k （ μ k ≥ 0 \mu_k ≥ 0 ）衡量。

max ⁡ { c 0 k , c 1 k , … , c S k } k = 1 K ∑ k = 1 K μ k [ u k ( c 0 k ) + δ k ∑ s = 1 S π s u k ( c k s ) ] s . t . { ∑ k = 1 K c 0 k ≤ ∑ k = 1 K e 0 k ∑ k = 1 K c s k ≤ ∑ k = 1 K e s k s = 1 , … , S \max_{\{c_0^k,c_1^k,\ldots,c_S^k\}_{k=1}^K} \sum_{k=1}^K \mu_k[u_k(c_0^k)+\delta_k\sum_{s=1}^S \pi_su_k(c_{ks})] \\ s.t. \begin{cases} \sum_{k=1}^K c_0^k \leq \sum_{k=1}^K e_0^k \\ \sum_{k=1}^K c_s^k \leq \sum_{k=1}^K e_s^k \quad s=1,\ldots,S\\ \end{cases}

注意：

  1. 在目标函数中，各消费者的相对权重 μ k \mu_k 是任意选取的。在一个极端上，中央计划者可以只关心一个人的福利（除了这个人之外，其他所有人的权重取为 0）。而在另一个极端上，中央计划者可以同等地关心所有人（所有人的权重一样）。由此可以看出，我们在通过中央计划者问题求解帕累托最优时，并不涉及任何有关收入分配的价值判断。帕累托最优只要求没有资源被浪费而已。至于不同人的权重应该如何选取，这是哲学问题，我们在经济与金融分析中不做讨论。
  2. 中央计划者优化问题的约束仅仅是总消费不能超过总禀赋。其中没有任何价格。这是因为我们假设中央计划者可以不受任何约束地调配资源，而无需考虑资源在现实中流动所需要的机制。这样做的道理是，相比中央计划者来说，其他任何实际的资源配置方式（比如市场机制）都会在中央计划者面临的资源约束之外，再增加新的约束条件。因此，中央计划者在宽泛约束下所选择的资源分配（以及福利状况）就代表了任何资源配置机制所可能达到的福利状况的上限——给定优化目标为(10.12)式中的目标函数，没有任何方式能够做得比中央计划者更好。这样一来，中央计划者就成为一个比较的标尺，可以用来检验其他资源配置方式是否（帕累托）有效。

构造拉格朗日函数
L = ∑ k = 1 K μ k [ u k ( c 0 k ) + δ k ∑ s = 1 S π s u k ( c k s ) ] + η 0 [ ∑ k = 1 K e 0 k − ∑ k = 1 K c 0 k ] + ∑ s = 1 S η s [ ∑ k = 1 K e s k − ∑ k = 1 K c s k ] F O C : { ∂ L ∂ c 0 k = 0 ⇒ μ k u k ′ ( c 0 k ) = η 0 ∂ L ∂ c s k = 0 ⇒ μ k δ k π s u k ′ ( c s k ) = η s ⇒ { c 0 k = u k ′ − 1 ( η 0 μ k ) c s k = u k ′ − 1 ( η s δ k μ k π s ) L = \sum_{k=1}^K \mu_k[u_k(c_0^k)+\delta_k\sum_{s=1}^S \pi_su_k(c_{ks})] + \eta_0[\sum_{k=1}^K e_0^k-\sum_{k=1}^K c_0^k] + \sum_{s=1}^S\eta_s[\sum_{k=1}^K e_s^k-\sum_{k=1}^K c_s^k] \\ FOC: \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial c_0^k} = 0 \Rightarrow \mu_ku'_k(c_0^k)=\eta_0 \\ \frac{\partial L}{\partial c_s^k} = 0 \Rightarrow \mu_k \delta_k \pi_s u'_k(c_s^k)=\eta_s \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c_0^k = {u_k'}^{-1}(\frac{\eta_0}{\mu_k}) \\ c_s^k = {u_k'}^{-1}(\frac{\eta_s}{\delta_k\mu_k\pi_s}) \\ \end{cases}

而一般均衡的一阶条件为(加上脚标k表示第k个消费者)
{ u ′ ( c 0 k ) = λ k δ k π s u k ′ ( c s k ) = λ k ϕ s ⇒ { c 0 k = u k ′ − 1 ( λ k ) c s k = u k ′ − 1 ( λ k ϕ s δ k π s ) \begin{cases} u'(c_0^k)=\lambda_k \\ \delta_k\pi_su'_k(c_s^k) = \lambda_k\phi_s \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} c_0^k = {u_k'}^{-1}(\lambda_k) \\ c_s^k = {u_k'}^{-1}(\frac{\lambda_k\phi_s}{\delta_k\pi_s}) \\ \end{cases}

可以看出只要满足
λ k = η 0 μ k , ϕ s = η s η 0 ( ∗ ) \lambda_k = \frac{\eta_0}{\mu_k}, \phi_s = \frac{\eta_s}{\eta_0} \quad (*)
那么PO(帕累托最优)=GE(一般均衡)

( ∗ ) (*) 式中的 λ k \lambda_k 表示消费者k的财富的影子价格(取决于财富)， ϕ s \phi_s 表示Arrow证券的价格

  • 只要提供一组 μ k \mu_k (表示不同人的重要性)，中央计划这就一定能通过分配初始财富(相当于调整 λ k \lambda_k )来实现帕累托最优；
  • 只要提供一组 λ k \lambda_k ，市场就能通过价格调整到一个恰到好处的状态，实现帕累托最优；

表述为福利经济学第二定理(The 2nd welfare Theorem): P . O . ⇒ G . E . P.O. \Rightarrow G.E. 任何一个帕累托最优配置都可以由某个对应某种财富的初始分配市场均衡决定

有福利经济学第二定理，自然就有福利经济学第一定理。

福利经济学第一定理(The 1st welfare Theorem):在完备市场中，任何一个由市场均衡所形成的资源分配都是帕累托最优的

1st + 2nd: P . O . ⇔ G . E . P.O. \Leftrightarrow G.E. : 所以均衡就是最好的(以帕累托最优评判)

这样以后分析G.E.的时候就可以用中央计划者的最优来代替分析(因为一般均衡要每个人均衡+市场出清)

均衡条件下消费者的消费

  • 完备市场中达到均衡时，消费者在不同状态中消费的波动，只与各个状态中总禀赋的波动有关，而与这个消费者自己禀赋在各个状态中的波动无关。

下面给出证明：
c s = ∑ k = 1 K c s k = ∑ k = 1 K u k ′ − 1 ( η s δ k μ k π s ) c_s = \sum_{k=1}^Kc_s^k = \sum_{k=1}^K {u_k'}^{-1}(\frac{\eta_s}{\delta_k\mu_k\pi_s})

由于 u k ( ⋅ ) u_k(\cdot) 是凸函数,所以 u k ′ − 1 {u_k'}^{-1} 是个单调函数，由于 δ k μ k π s \delta_k\mu_k\pi_s 均为外生变量，所以可以将 η s \eta_s 写成 c s c_s 的函数
η s = g ( c s ) = g ( e s ) \eta_s = g(c_s) = g(e_s)
上式第二个等号利用了市场出清条件
c s k = u k ′ − 1 ( g ( e s ) δ k μ k π s ) c_s^k = {u_k'}^{-1}(\frac{g(e_s)}{\delta_k\mu_k\pi_s})
同时是在用中央计划者的问题来分析一般均衡， μ k \mu_k 也不是随便确定的，是根据各个消费者的财富多寡来设定，所以表示为 μ k ( e 0 k + ∑ s = 1 S ϕ s e s k ) \mu_k(e_0^k+\sum_{s=1}^S\phi_se_{s}^k)

所以 c s k c_s^k 只与总禀赋和消费者自己的财富有关，总禀赋 e s e_s 的波动决定了消费者k自己个人消费的波动，消费者的财富则决定了他自己在不同状态下的平均消费水平；

  • 对于任意两个状态 s 与 s ′ s 与 s' ，如果有 c s > c s ′ c_s>c_{s'} ，则对任意消费者 k k ，必有 c s k > c s ′ k c^k_s>c^k_{s'} 。

反证： 假设 c s > c s ′ c_s>c_{s'} ，但存在某个k，使得 c s k < c s ′ k c^k_s < c^k_{s'} ,根据中央计划者优化问题的一阶条件
{ μ k u k ′ ( c 0 k ) = η 0 μ k δ k π s u k ′ ( c s k ) = η s ⇒ { μ k δ k u k ′ ( c s k ) = μ k ′ δ k ′ u k ′ ′ ( c s k ′ ) μ k δ k u k ′ ( c s ′ k ) = μ k ′ δ k ′ u k ′ ′ ( c s ′ k ′ ) \begin{cases} \mu_ku_k'(c_0^k) = \eta_0 \\ \mu_k\delta_k\pi_su_k'(c_s^k) = \eta_s \\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \mu_k\delta_ku_k'(c_s^k) = \mu_{k'}\delta_{k'}u_{k'}'(c_s^{k'}) \\ \mu_k\delta_ku_k'(c_{s'}^k) = \mu_{k'}\delta_{k'}u_{k'}'(c_{s'}^{k'}) \\ \end{cases}
u k ′ ( ⋅ ) u'_k(\cdot) 是单调函数，由 c s k < c s ′ k c^k_s < c^k_{s'} ,则对于任意一个 k ′ k' 必然有 c s k ′ < c s ′ k ′ c^{k'}_s < c^{k'}_{s'} ,
∑ k = 1 K c s k = c s ≤ c s ′ = ∑ k = 1 K c s ′ k \sum_{k=1}^K c^k_s = c_s \leq c_{s'} = \sum_{k=1}^K c^k_{s'}
与假设 c s > c s ′ c_s>c_{s'} 相矛盾，命题得证；

前面这两个定理表明了，在均衡时消费者的消费只受到经济中总禀赋的影响，而不受消费者自己禀赋波动的影响。在不同的状态中，所有消费者的消费都同向变化。在总禀赋多的状态中，所有人的消费都多；而在总禀赋少的状态中，所有人的消费都少。

不过，所有消费者的消费在不同状态中虽然同向波动，但波动的幅度却未必是一样的。可以直观地想到，那些风险厌恶度更大的消费者，更愿意平滑其不同状态下的消费（让各个状态下的消费差异变小）。

  • Wilson 定理:每位消费者所承担的边际总体风险等于他的绝对风险容忍度占所有消费者绝对风险容忍度总和的比重。
    • 绝对风险容忍度： T ( c ) ≜ 1 R A ( c ) = − u ′ ( c ) u ′ ′ ( c ) T(c)\triangleq \frac{1}{R_A(c)} = -\frac{u'(c)}{u''(c)}
    • 消费者在某状态下的消费因总禀赋的变化而变化的幅度，等于其绝对风险容忍度占社会总风险容忍度的比重
      d c s k d e s = T k ( c s k ) ∑ k = 1 K T k ( c s k ) \frac{dc^k_s}{de_s} = \frac{T_k(c^k_s)}{\sum_{k=1}^K T_k(c^k_s)}

下面给出相关证明：

构造一个社会福利函数，是中央计划者优化问题的值函数
V ( e 0 , e 1 , … , e S ) ≜ max ⁡ { c 0 k } k = 1 K { ∑ k = 1 K μ k [ u k ( c 0 k ) + δ k ∑ s = 1 S π s u k ( c k s ) ] ∣ ∑ k = 1 K c s k = ∑ k = 1 K e s k = e s ∀ s ∑ k = 1 K c 0 k = ∑ k = 1 K e 0 k = e 0 } V(e_0,e_1,\ldots,e_S) \triangleq \max_{\{c_0^k\}_{k=1}^K} \{\sum_{k=1}^K \mu_k[u_k(c_0^k)+\delta_k\sum_{s=1}^S \pi_su_k(c_{ks})]|^{\sum_{k=1}^K c_0^k = \sum_{k=1}^K e_0^k = e_0}_{\sum_{k=1}^K c_s^k = \sum_{k=1}^K e_s^k = e_s \quad \forall s}\}
由于禀赋之间互不影响，可以将上面的加号拆开
V ( e 0 , e 1 , … , e S ) = max ⁡ { c 0 k } k = 1 K { ∑ k = 1 K μ k u k ( c 0 k ) ∣ ∑ k = 1 K c 0 k = ∑ k = 1 K e 0 k = e 0 } + ∑ s = 1 S π s max ⁡ { c s k } k = 1 K { ∑ k = 1 K μ k δ k u k ( c s k ) ∣ ∑ k = 1 K c s k = ∑ k = 1 K e s k = e s } = u ( e 0 ) + ∑ s = 1 S π s u ( e s ) ( 简写成值函数的形式 ) \begin{aligned} V(e_0,e_1,\ldots,e_S) &= \max_{\{c_0^k\}_{k=1}^K} \{\sum_{k=1}^K \mu_ku_k(c_0^k)|{\sum_{k=1}^K c_0^k = \sum_{k=1}^K e_0^k = e_0}\} \\ &+ \sum_{s=1}^S\pi_s \max_{\{c_s^k\}_{k=1}^K} \{\sum_{k=1}^K \mu_k\delta_ku_k(c_s^k)|{\sum_{k=1}^K c_s^k = \sum_{k=1}^K e_s^k = e_s}\} \\ &=u(e_0) + \sum_{s=1}^S\pi_su(e_s) \quad (简写成值函数的形式) \end{aligned}

研究值函数 u ( e s ) u(e_s) ,构造拉格朗日函数
L = ∑ k = 1 K μ k δ k u k ( c s k ) + η [ e s − ∑ k = 1 K c s k ] F O C : ∂ L ∂ c s k = 0 ⇒ μ k δ k u k ′ ( c s k ) = η L = \sum_{k=1}^K \mu_k\delta_ku_k(c_s^k) + \eta[e_s-\sum_{k=1}^K c_s^k] \\ FOC: \frac{\partial L}{\partial c_s^k} = 0 \Rightarrow \mu_k\delta_ku_k'(c_s^k) = \eta
根据拉格朗日乘子的意义(影子价格)， η = u ′ ( e s ) \eta = u'(e_s) ,将其代入可得
μ k δ k u k ′ ( c s k ) = u ′ ( e s ) ⇒ μ k δ k = u ′ ( e s ) u k ′ ( c s k ) \mu_k\delta_ku_k'(c_s^k) = u'(e_s) \Rightarrow \mu_k\delta_k = \frac{u'(e_s)}{u_k'(c_s^k)}
上式对 e s e_s 求导
μ k δ k u k ′ ′ ( c s k ) d c s k = u ′ ′ ( e s ) d e s ⇒ d c s k d e s = u ′ ′ ( e s ) μ k δ k u k ′ ′ ( c s k ) = ( − u ′ ′ ( e s ) u ′ ( e s ) ) ( − u k ′ ( c s k ) u k ′ ′ ( c s k ) ) = R A ( e s ) R A , k ( c s k ) \mu_k\delta_ku_k''(c_s^k)dc_s^k = u''(e_s)de_s \\ \begin{aligned} \Rightarrow \frac{dc_s^k}{de_s} &= \frac{u''(e_s)}{\mu_k\delta_ku_k''(c_s^k)} \\ &=(-\frac{u''(e_s)}{u'(e_s)})(-\frac{u_k'(c_s^k)}{u_k''(c_s^k)}) \\ &=\frac{R_A(e_s)}{R_{A,k}(c_s^k)} \end{aligned}
这里千万不要忘记有下标k的表示消费者k的效用函数，没有下标的是值函数； R A , k ( c s k ) R_{A,k}(c_s^k) 是消费者k的绝对风险厌恶系数， R A ( e s ) R_A(e_s) 是对应于值函数 u ( • ) u(•) 的绝对风险厌恶系数;由 T ( c ) ≜ 1 R A ( c ) = − u ′ ( c ) u ′ ′ ( c ) T(c)\triangleq \frac{1}{R_A(c)} = -\frac{u'(c)}{u''(c)} ,改写上式
d c s k d e s = T k ( c s k ) T ( e s ) ( ∗ ∗ ) \frac{dc_s^k}{de_s} = \frac{T_k(c_s^k)}{T(e_s)} \qquad (**)
由于 ∑ K c s k = e s \sum_K c_s^k = e_s ,所以有 ∑ K d c s k = d e s \sum_K dc_s^k = de_s ,则有
∑ k = 1 K d c s k d e s = ∑ k = 1 K T k ( c s k ) T ( e s ) ⇒ 1 = 1 T ( e s ) ∑ k = 1 K T k ( c s k ) ⇒ T ( e s ) = ∑ k = 1 K T k ( c s k ) \begin{aligned} \sum_{k=1}^K \frac{dc_s^k}{de_s} &= \sum_{k=1}^K\frac{T_k(c_s^k)}{T(e_s)} \\ \Rightarrow 1 & = \frac{1}{T(e_s)} \sum_{k=1}^K T_k(c_s^k) \\ \Rightarrow T(e_s) & = \sum_{k=1}^K T_k(c_s^k) \\ \end{aligned}
最后带回 ( ∗ ∗ ) (**) 式可得
d c s k d e s = T k ( c s k ) ∑ k = 1 K T k ( c s k ) \frac{dc_s^k}{de_s} = \frac{T_k(c_s^k)}{\sum_{k=1}^K T_k(c_s^k)}
该式子表示某消费者在某状态下的消费因总禀赋的变化而变化的幅度，等于其绝对风险容忍度占社会总风险容忍度的比重。

对三个定理的总结

在这里插入图片描述

前面三个定理描述了完备市场中最优风险分担的特性

  1. 所有消费者的消费完全正相关， 只受各个状态下总禀赋的影响
  2. 消费者各自拥有的禀赋只与各自的总财富有关
  • 总禀赋在不同状态下的波动称为总体风险；
  • 消费者各自的禀赋在不同状态下的波动称为个体风险
  • 通过完备的金融市场，消费者可以通过分散化来消除个体风险，从而承担总体风险；

代表性消费者

回到消费者优化问题

max ⁡ θ J × 1 u ( c 0 ) + δ ∑ s = 1 S π s u ( c s ) s . t . { c 0 = e 0 − ∑ j = 1 J P j θ j c s = e s + ∑ j = 1 J x s j θ j s = 1 , 2 , … , S \max_{\theta_{J\times 1}} u(c_0) + \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u(c_s) \\ s.t. \begin{cases} \quad c_0 = e_0 - \sum_{j=1}^JP_j \theta_j \\ \quad c_s = e_s + \sum_{j=1}^Jx^j_s \theta_j \quad s=1,2,\ldots,S\\ \end{cases}
将约束代入
max ⁡ θ J × 1 u ( e 0 − ∑ j = 1 J P j θ j ) + δ ∑ s = 1 S π s u ( e s + ∑ j = 1 J x s j θ j ) F O C : d ( ⋅ ) d θ j = − P j u ′ ( c 0 ) + δ ∑ s = 1 S π s u ′ ( c s ) x s j = 0 ⇒ P j u ′ ( c 0 ) = δ ∑ s = 1 S π s u ′ ( c s ) x s j ⇒ 1 = δ ∑ s = 1 S π s u ′ ( c s ) u ′ ( c 0 ) x s j P j 表示成第 k 个消费者 ⇒ 1 = E [ δ k u k ′ ( c 1 k ~ ) u k ′ ( c 0 k ) ( 1 + r j ~ ) ] \max_{\theta_{J\times 1}} u(e_0-\sum_{j=1}^JP_j\theta_j) + \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u(e_s+\sum_{j=1}^Jx_s^j\theta_j) \\ FOC: \frac{d(\cdot)}{d\theta_j} = -P_ju'(c_0) + \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u'(c_s)x_s^j = 0 \\ \Rightarrow P_ju'(c_0) = \delta \sum_{s=1}^S \pi_s u'(c_s)x_s^j \\ \Rightarrow 1 = \delta \sum_{s=1}^S \pi_s \frac{u'(c_s)}{u'(c_0)} \frac{x_s^j}{P_j} \\ 表示成第k个消费者 \Rightarrow 1 = E [\delta_k \frac{u_k'(\tilde{c_1^k})}{u_k'(c_0^k)}(1+\tilde{r_j})] \\

其中， r j ~ \tilde{r_j} 表示资产j的事后回报率，从这个式子可以看出，只要有任意一个消费者的消费数据，就足以给资产定价！

代表性消费者与加总

但是仍面临以下两个问题：

  1. 现实中我们很难精确获取某人的微观信息。相对而言，宏观层面的数据（如总消费、总投资等）则更容易掌握。
  2. 前面的所有分析都是假设人是“理性”的。但理性并非是经济学对单个人的行为做出的假设，而是对人们在竞争中所表现出来的行为所做的假设。也就是说，现实中某个人的行为未必是理性的。但是，市场竞争会使得人的行为平均起来接近理性。因此，直接利用某个消费者在均衡状态下的优化一阶条件来给资产定价，误差可能会非常大（这个消费者的行为恐怕未必是理性的）。而如果利用所有消费者的平均行为来定价，准确度会高很多。
  • 代表性消费者: 所谓代表性消费者，是我们为了金融和经济分析，人为构造出来的一个虚拟消费者。代表性消费者的消费和禀赋是经济中的总消费和总禀赋。代表性消费者的偏好是所有消费者偏好的平均。这样，我们就可以通过代表性消费者将资产价格和宏观数据联系起来。

用代表性消费者进行分析，要满足一定的前提，因为(禀赋在不同消费者之间做不同的分布，所产生的均衡资产价格有可能是不同的。而在将所有消费者加总为代表性消费者的过程中，禀赋和消费在不同消费者之间的分布信息也必然会损失掉。)我们因而希望能够找到一种消费者的偏好形式，使得在这种偏好之下，禀赋在不同消费者之间的分布并不影响资产价格；

  • 如果所有消费者具有如下的 HARA 型效用函数(CRRA是HARA的一种)
    u k ( c k ) = ( c k − d k ) 1 − γ 1 − γ u_k(c_k) = \frac{(c_k-d_k)^{1-\gamma}}{1-\gamma}
    那么代表性消费者的消费为所有消费者的总消费，禀赋为所有消费者的总禀赋
    c = ∑ k c k c = \sum_k c_k

我们之所以能够做这样的简化假设，最关键的原因是前面推导出来的风险分散的结论。在完备市场的均衡中，所有消费者的消费波动都完全正相关，只决定于总禀赋在不同状态的分布。事实上，在均衡时，所有消费者的边际效用比都是一样的（这样她们才会同意同样的资产价格）。在这样的前提下，我们把所有消费者都加总成一个代表性消费者并未失掉太多的一般性。

推导C-CAPM

将上面的代表第k个消费者的一阶条件替换成代表性消费者
1 = E [ δ k u k ′ ( c 1 k ~ ) u k ′ ( c 0 k ) ( 1 + r j ~ ) ]   ⇒ 1 = E [ δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) ( 1 + r j ~ ) ] 1 = E [\delta_k \frac{u_k'(\tilde{c_1^k})}{u_k'(c_0^k)}(1+\tilde{r_j})] \\\ \Rightarrow 1 = E [\delta \frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)}(1+\tilde{r_j})]
定义随机折现因子（stochastic discount factor） m ~ \tilde{m}
m ~ ≜ δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) \tilde{m} \triangleq \delta \frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)}
上式改写为：
1 = E [ m ~ ( 1 + r j ~ ) ] 1 = E [\tilde{m}(1+\tilde{r_j})]
对于无风险资产：
1 = E [ m ~ ( 1 + r f ) ] 1 = E [\tilde{m}(1+r_f)]
上下相减,再利用协方差的公式 E [ x y ] = E [ x ] E [ y ] + c o v ( x , y ) E[xy]=E[x]E[y]+cov(x,y) ：
0 = E [ m ~ ( r j ~ − r f ) ] ⇒ 0 = E [ m ~ ] ( E [ r j ~ − r f ] ) + c o v ( m ~ , r j ~ − r f ) ⇒ 0 = E [ m ~ ] ( E [ r j ~ ] − r f ) + c o v ( m ~ , r j ~ ) ⇒ 0 = E [ r j ~ ] − r f 1 + r f + c o v ( m ~ , r j ~ ) ⇒ E [ r j ~ ] − r f = − ( 1 + r f ) c o v ( m ~ , r j ~ ) ( ∗ ) \begin{aligned} 0 &= E [\tilde{m}(\tilde{r_j}-r_f)] \\ \Rightarrow 0&=E [\tilde{m}](E[\tilde{r_j}-r_f]) + cov(\tilde{m},\tilde{r_j}-r_f) \\ \Rightarrow 0&=E [\tilde{m}](E[\tilde{r_j}]-r_f) + cov(\tilde{m},\tilde{r_j}) \\ \Rightarrow 0&=\frac{E[\tilde{r_j}]-r_f}{1+r_f} + cov(\tilde{m},\tilde{r_j}) \\ \Rightarrow E[\tilde{r_j}]-r_f&=-(1+r_f) cov(\tilde{m},\tilde{r_j}) \qquad (*)\\ \end{aligned}

(*)式就是C-CAPM；

将随机折现因子写回来：
E [ r j ~ ] − r f = − ( 1 + r f ) c o v ( δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) , r j ~ ) = − ( 1 + r f ) δ u ′ ( c 0 ) c o v ( u ′ ( c 1 ~ ) , r j ~ ) \begin{aligned} E[\tilde{r_j}]-r_f &=-(1+r_f) cov(\delta \frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)},\tilde{r_j}) \\ &=-\frac{(1+r_f)\delta}{u'(c_0)} cov(u'(\tilde{c_1}),\tilde{r_j}) \end{aligned}

因为 ( 1 + r f ) δ u ′ ( c 0 ) > 0 \frac{(1+r_f)\delta}{u'(c_0)} >0

  • 当 c o v ( u ′ ( c 1 ~ ) , r j ~ ) > 0 cov(u'(\tilde{c_1}),\tilde{r_j})>0 (即 u ′ ( c 1 ~ ) ↑ ⇒ c 1 ↓ ⇒ r j ↑ u'(\tilde{c_1}) \uparrow \Rightarrow c_1 \downarrow \Rightarrow r_j \uparrow ),属于雪中送炭类型(大家都想要)， E [ r j ~ ] ↓ E[\tilde{r_j}] \downarrow
  • 当 c o v ( u ′ ( c 1 ~ ) , r j ~ ) < 0 cov(u'(\tilde{c_1}),\tilde{r_j})<0 (即 u ′ ( c 1 ~ ) ↓ ⇒ c 1 ↑ ⇒ r j ↑ u'(\tilde{c_1}) \downarrow \Rightarrow c_1 \uparrow \Rightarrow r_j \uparrow ),属于锦上添花类型(大家都不想要)， E [ r j ~ ] ↑ E[\tilde{r_j}] \uparrow

CAPM只是C-CAPM的一个特例

如果假设消费者的效用函数为二次型（quadratic utility），即 u ( c ) = − a c 2 + b c （其中 a > 0 ） u(c)=-ac^2+bc（其中 a>0） ,则随机折现因子为
m ~ ≜ δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) = δ − 2 a c 1 ~ + b − 2 a c 0 + b \tilde{m} \triangleq \delta \frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)} = \delta \frac{-2a\tilde{c_1}+b}{-2ac_0+b} \\
将其代入(*)式
E [ r j ~ ] − r f = − ( 1 + r f ) c o v ( δ − 2 a c 1 ~ + b − 2 a c 0 + b , r j ~ ) = δ − 2 a ( 1 + r f ) − 2 a c 0 + b c o v ( c 1 ~ , r j ~ ) E[\tilde{r_j}]-r_f = -(1+r_f) cov(\delta \frac{-2a\tilde{c_1}+b}{-2ac_0+b},\tilde{r_j}) = \delta \frac{-2a(1+r_f)}{-2ac_0+b} cov(\tilde{c_1},\tilde{r_j})
将市场组合回报率定义为 r m ~ = c 1 ~ P m − 1 \tilde{r_m} = \frac{\tilde{c_1}}{P_m} - 1 ,继续将上式做恒等变换
E [ r j ~ ] − r f = δ − 2 a ( 1 + r f ) P m − 2 a c 0 + b c o v ( c 1 ~ P m − 1 , r j ~ ) = δ − 2 a ( 1 + r f ) P m − 2 a c 0 + b c o v ( r m ~ , r j ~ ) \begin{aligned} E[\tilde{r_j}]-r_f &= \delta \frac{-2a(1+r_f)P_m}{-2ac_0+b} cov(\frac{\tilde{c_1}}{P_m}-1,\tilde{r_j}) \\ &= \delta \frac{-2a(1+r_f)P_m}{-2ac_0+b} cov(\tilde{r_m},\tilde{r_j}) \\ \end{aligned}
这个对任何资产都成立，自然对市场组合也成立
E [ r m ~ ] − r f = δ − 2 a ( 1 + r f ) P m − 2 a c 0 + b V a r ( r m ~ ) E[\tilde{r_m}]-r_f = \delta \frac{-2a(1+r_f)P_m}{-2ac_0+b}Var(\tilde{r_m})
上下相除
E [ r j ~ ] − r f E [ r m ~ ] − r f = c o v ( r m ~ , r j ~ ) V a r ( r m ~ ) \frac{E[\tilde{r_j}]-r_f}{E[\tilde{r_m}]-r_f} = \frac{cov(\tilde{r_m},\tilde{r_j})}{Var(\tilde{r_m})}
用 β \beta 代替
E [ r j ~ ] − r f = β j ( E [ r m ~ ] − r f ) {E[\tilde{r_j}]-r_f} = \beta_j(E[\tilde{r_m}]-r_f)

市场组合到底是什么？

  • 市场组合的回报是总禀赋
  • 市场组合就是对经济中所有产出的索取权
  • 市场组合就是宏观经济

用C-CAPM来分析无风险利率和资产的风险溢价

在C-CAPM中我们得到了
1 = E [ m ~ ( 1 + r j ~ ) ] ⇔ P j = E [ m ~ x j ~ ] 1 = E [\tilde{m}(1+\tilde{r_j})] \Leftrightarrow P_j = E [\tilde{m}\tilde{x_j}]
上面的这个式是所有资产定价理论的核心。任何一种资产定价理论都可最终化成这样的形式。因此，资产定价问题也就归结为如何找出随机折现因子的问题。一个资产定价理论就是一种确定随机折现因子的方法：在理论上，必须要给出随机折现因子构造的方法，说明它反映了何种影响资产价格的力量；而在实践中，需要将随机折现因子和现实世界中可观测的指标联系起来，从而可以实际运用其来给各类资产定价。

无风险利率的决定

1 = E [ m ~ ( 1 + r f ) ] ⇒ r f = 1 E [ m ~ ] − 1 1 = E [\tilde{m}(1+r_f)] \Rightarrow r_f = \frac{1}{E [\tilde{m}]} - 1
定义消费的增长率为
g ~ ≜ c 1 ~ c 0 − 1 \tilde{g} \triangleq \frac{\tilde{c_1}}{c_0} - 1
随机折现因子可以利用二阶泰勒展开变形为
m ~ = δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) = δ u ′ ( c 0 ( 1 + g ~ ) ) u ′ ( c 0 ) = δ u ′ ( c 0 ) [ u ′ ( c 0 ) + u ′ ′ ( c 0 ) c 0 g ~ + 1 2 u ′ ′ ′ ( c 0 ) c 0 2 g ~ 2 ] = δ [ 1 − ( − c 0 u ′ ′ ( c 0 ) u ′ ( c 0 ) ) g ~ + 1 2 ( − c 0 u ′ ′ ( c 0 ) u ′ ( c 0 ) ) ( − c 0 u ′ ′ ′ ( c 0 ) u ′ ′ ( c 0 ) ) g ~ 2 ] = δ ( 1 − R R ( c 0 ) g ~ + 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) g ~ 2 ) \begin{aligned} \tilde{m} &= \delta \frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)} \\ &= \delta \frac{u'(c_0(1+\tilde{g}))}{u'(c_0)} \\ &= \frac{\delta}{u'(c_0)}[u'(c_0)+u''(c_0)c_0\tilde{g}+\frac{1}{2}u'''(c_0)c_0^2\tilde{g}^2] \\ &= \delta[1-(-\frac{c_0u''(c_0)}{u'(c_0)})\tilde{g}+\frac{1}{2}(-\frac{c_0u''(c_0)}{u'(c_0)})(-\frac{c_0u'''(c_0)}{u''(c_0)})\tilde{g}^2] \\ &= \delta(1-R_R(c_0)\tilde{g} + \frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\tilde{g}^2) \end{aligned}
于是，随机折现因子的期望为
E [ m ~ ] ≈ E [ δ ( 1 − R R ( c 0 ) g ~ 2 + 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) g ~ 2 ) ] = δ [ 1 − R R ( c 0 ) E [ g ~ ] + 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) E [ g ~ 2 ] ] E[\tilde{m}] \approx E[\delta(1-R_R(c_0)\tilde{g}^2 + \frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\tilde{g}^2)] = \delta[1-R_R(c_0)E[\tilde{g}]+\frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)E[\tilde{g}^2]]
在 g ˉ \bar{g} 比较小的时候， g ˉ 2 \bar{g}^2 会很接近于0，所以有
V a r [ g ~ ] = E [ g ~ 2 ] − g ˉ 2 ≈ E [ g ~ 2 ] Var[\tilde{g}] = E[\tilde{g}^2] - \bar{g}^2 \approx E[\tilde{g}^2]
所以上式为
E [ m ~ ] ≈ δ [ 1 − R R ( c 0 ) g ˉ + 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) σ g 2 ] E[\tilde{m}] \approx \delta[1-R_R(c_0)\bar{g}+\frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\sigma_g^2]
于是无风险利率就可以表示成
r f = 1 E [ m ~ ] − 1 ≈ 1 δ [ 1 − R R ( c 0 ) g ˉ + 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) σ g 2 ] − 1 = 1 − δ + δ R R ( c 0 ) g ˉ − δ 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) σ g 2 δ [ 1 − R R ( c 0 ) g ˉ + 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) σ g 2 ] ≈ 1 − δ δ + R R ( c 0 ) g ˉ − 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) σ g 2 \begin{aligned} r_f &= \frac{1}{E [\tilde{m}]} - 1 \approx \frac{1}{\delta[1-R_R(c_0)\bar{g}+\frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\sigma_g^2]} - 1\\ &=\frac{1-\delta+\delta R_R(c_0)\bar{g}-\delta\frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\sigma_g^2}{\delta[1-R_R(c_0)\bar{g}+\frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\sigma_g^2]} \\ &\approx \frac{1-\delta}{\delta} + R_R(c_0)\bar{g} - \frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\sigma_g^2 \end{aligned}
上式中的最后一个约等号是因 g ˉ \bar{g} 与 σ g 2 \sigma_g^2 都是较小的数，所以在分母中忽略去它们，将分母直接变成 δ \delta ; 定义消费者的主观贴现率为 ρ ≡ 1 − δ δ ρ≡\frac{1-\delta}{\delta}
r f = ρ + R R ( c 0 ) g ˉ − 1 2 R R ( c 0 ) P R ( c 0 ) σ g 2 r_f = \rho + R_R(c_0)\bar{g} - \frac{1}{2}R_R(c_0)P_R(c_0)\sigma_g^2

  • 左边表示真实无风险利率
  • 右边由三股力量构成
    • 第一股是消费者的“不耐”（impatience），由消费者的主观贴现率所衡量。消费者越不耐心，主观贴现率 ρ 就越大（贴现因子 δ 相应越小），无风险利率就应该越高。这是因为当消费者越不耐心的时候，就需要越高的利率来激励其进行储蓄。
    • 第二股力量是经济增长。经济增长速度越快，就意味未来的消费会更多，储蓄就越发没有必要。在这种情况下，就需要更高的无风险利率来平衡消费者减少储蓄的动机。而经济增速对无风险利率影响的强度由消费者的相对风险规避系数来决定。相对风险规避系数越高，消费者就越愿意在现在与未来之间平滑消费。这时，经济增长所造成的消费者降低储蓄的动机就越强。为了平衡这种更强的降低储蓄的动机，无风险利率就需要更高。
    • 第三股力量是预防性储蓄（precautionary savings）动机。如果经济增长的波动性加大（ σ g 2 \sigma_g^2 增大），那么消费者会有出于预防性储蓄动机而增加储蓄的动力。这样，无风险利率就会相应降低来与更强的储蓄动机相匹配。预防性储蓄动机的强度由消费者的相对风险规避系数与相对审慎系数共同决定。

风险溢价的决定

回到C-CAPM
E [ r j ~ ] − r f = − ( 1 + r f ) c o v ( δ u ′ ( c 1 ~ ) u ′ ( c 0 ) , r j ~ ) = − ( 1 + r f ) δ u ′ ( c 0 ) c o v ( u ′ ( c 1 ~ ) , r j ~ ) \begin{aligned} E[\tilde{r_j}]-r_f &=-(1+r_f) cov(\delta \frac{u'(\tilde{c_1})}{u'(c_0)},\tilde{r_j}) \\ &=-\frac{(1+r_f)\delta}{u'(c_0)} cov(u'(\tilde{c_1}),\tilde{r_j}) \end{aligned}

上式说明，任何一种风险资产的风险溢价由其资产回报率与边际效用之间的协方差决定。那些回报率与边际效用相关性越强的资产，其风险溢价就越低（当前价格就越高）。由于边际效用递减，所以也可以说那些回报率与总消费负相关性越强的资产，风险溢价越低。

这个其实在前面已经分析过了，再来一次加深印象：

  • 一种资产如果在消费比较低，消费边际效用比较高的状态时有较高的回报，说明它在消费者最需要消费的时候提供较多回报，属于雪中送炭型资产。消费者自然会更愿意持有这种资产，从而令这种资产的风险溢价和期望回报率较低，价格较高。
  • 相反，如果一种资产在消费很多的时候回报较高，那就算锦上添花型资产，消费者对其的评价不会太高，资产的风险溢价就会比较高，当前的价格就会较低。

C-CAPM的不足

在模型中用相对风险规避系数这个参数表征了两种不同的经济力量

  • 表征了消费者在不同状态之间平滑消费的意愿
  • 还刻画了消费者在不同时间之间平滑消费的意愿

正是这种耦合，导致了理论得出了很高的风险溢价，与现实不符(风险溢价难题)，所以后续的很多研究试图将这两种力量用不同的参数来加以刻画。