CAPM模型 -- 潘登同学的Quant笔记

资产定价问题及CAPM

Asset pricing的核心问题是
$$X\to P[E(\tilde{r})]$$

除了future payoff-$X$对问题很重要，要求的折现率r也很重要; 在资产定价中，往往不是特别重视future payoff怎么获得(一般都是预期)，而是关注r的值(因为预期是千差万别的,而贴现率是实实在在的)，CAPM模型就是为了解决r而建立的模型；

Markowitz于1952年portfolio selection的论文，提出了CAMP模型，本质上是一个数学上的优化问题(Mean-Variance Analysis)，但是却掀起了现代金融学的第一次革命;

一些事实与假设

• ex-ante rate of return: 事前回报率(=期望回报率) 往往是未知的，但是可以预期的
• ex-post rate of return: 事后回报率 在投资结束时计算的回报率

我们想确定的r肯定是事前回报率，但是我们观察到的只有事后回报率，所以我们会将其期望回报率用事后回报率的均值代替； (我认为这是一个比较强的假设，因为这个假设暗含了过去发生的事再未来还会发生)

• Survivorship Bias: 幸存者偏差， 过去的数据并不能将资产的所有回报都显示出来，可能有极小的概率发生巨大的亏损，而一旦发生巨大亏损，这个资产便离开市场，留下来的要么是不存在巨大亏损的，要么是还未观测到的。所以将事后回报率的均值当做事前回报率还需谨慎;

运用Mean-Variance进行分析

投资者的无差异曲线

假设消费者的效用函数为$U(E(r),\sigma_r)$,显然$\frac{\partial{U}}{\partial{E(r)}}>0,\frac{\partial{U}}{\partial{\sigma_r}}<0$
运用两个基本事实来构造无差异曲线

• 边际效用递减，$\frac{\partial^2{U}}{\partial{E(r)^2}}<0$
• 边际成本递增，$\frac{\partial^2{U}}{\partial{\sigma_r^2}}<0$

如图所示：

下面证明无差异曲线是如上图所示的形状

• 斜率为正
  从$A\to B$
  $$\triangle u = 0 = \triangle E(r)\frac{\partial u}{\partial E(r)} + \triangle \sigma_r\frac{\partial u}{\partial \sigma_r} \\\Rightarrow \frac{\triangle E(r)}{\triangle \sigma_r} = -\frac{\partial u}{\partial \sigma_r} / \frac{\partial u}{\partial E(r)} > 0\\当\triangle \to 0, \triangle = d, \frac{d E(r)}{d \sigma_r} > 0$$
• 凸函数 $\Leftrightarrow$ 二阶导大于0 $\Leftrightarrow$ 一阶导递增
  $$\frac{d E(r)}{d \sigma_r} = -\frac{\partial u}{\partial \sigma_r} / \frac{\partial u}{\partial E(r)} \\当\sigma \uparrow, -\frac{\partial u}{\partial \sigma_r} \uparrow; E(r) \uparrow,-\frac{\partial u}{\partial E(r)} \downarrow \Rightarrow \frac{d E(r)}{d \sigma_r} \uparrow,一阶导递增$$

而一般常用的效用函数为
$$U = E(r) - A\sigma^2$$

一个风险资产与一个无风险资产的组合

	无风险资产	风险资产
收益率	$r_f$	$\tilde{r_s}$
标准差	0	$\sigma_s$
组合权重	$1-w$	$w$

• Mean：
  $$\begin{aligned}\bar{r_p} &= E[(1-w)r_f+w\tilde{r_s}] \\&=(1-w)r_f + w\bar{r_s} \\&= r_f + w(\bar{r_s}-r_f)\end{aligned}\Rightarrow \bar{r_p} =r_f + \frac{\sigma_p}{\sigma_s}(\bar{r_s}-r_f)$$

• Variance:
  $$\begin{aligned}\sigma_p^2 &= E[(1-w)r_f + w\tilde{r_s}-\bar{r_p}]^2 \\&= w^2 \sigma_s^2 \\\end{aligned}\Rightarrow w = \frac{\sigma_p}{\sigma_s}$$

画在图上就是：

两个风险资产的组合

	风险资产	另一个风险资产
收益率	$\tilde{r_1}$	$\tilde{r_2}$
标准差	$\sigma_1$	$\sigma_2$
组合权重	$w$	$1-w$

• Mean：
  $$\begin{aligned}\bar{r_p} &= E[w\tilde{r_1} + (1-w)\tilde{r_2}] \\&=w\bar{r_1} + (1-w)\bar{r_2} \\\end{aligned}$$

• Variance:
  $$\begin{aligned}\sigma_p^2 &= E[w\tilde{r_1} + (1-w)\tilde{r_2}-\bar{r_p}]^2 \\&= w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2 + 2w(1-w)Cov_{1,2}\\&= w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2 + 2w(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2}\\\end{aligned}$$

画在图上就是：

下证其曲线形状：

1. $\rho_{1,2}=1$时,斜率为正
   $$\begin{aligned}E(r_p) &= w\bar{r_1} + (1-w)\bar{r_2} \\\sigma_p &= w\sigma_1 + (1-w) \sigma_2 \\\frac{dE(r_p)}{d\sigma_p} &= \frac{dE(r_p)/dw}{d\sigma_p/dw} = \frac{\bar{r_1} - \bar{r_2}}{\sigma_1-\sigma_2}>0\end{aligned}$$
2. $\rho_{1,2}=-1$时,为分段函数
   $$\begin{aligned}E(r_p) &= w\bar{r_1} + (1-w)\bar{r_2} \\\sigma_p &= |w\sigma_1 - (1-w) \sigma_2| \\设W^*为临界值,& w^*\sigma_1 - (1-w^*) \sigma_2 = 0 \Rightarrow w^* = \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}\\\sigma_p &= \begin{cases}w\sigma_1 - (1-w) \sigma_2, &w>w^* \\0, &w=w^8 \\-w\sigma_1 + (1-w) \sigma_2,&w<w^* \\\end{cases} \\\frac{dE(r_p)}{d\sigma_p} &=\begin{cases}\frac{dE(r_p)/dw}{d\sigma_p/dw} = \frac{\bar{r_1} - \bar{r_2}}{\sigma_1+\sigma_2}>0, &w>w^* \\E(r_p) = \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2}\sigma_1 + \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2} \sigma_2 = \frac{2\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2},&w=w^* \\\frac{dE(r_p)/dw}{d\sigma_p/dw} = -\frac{\bar{r_1} - \bar{r_2}}{\sigma_1+\sigma_2}<0, &w<w^* \\\end{cases}\end{aligned}$$
3. $\rho_{1,2}\in(-1,1)$时,最小方差组合的方差小于$\sigma_2$,且曲线为凸函数
   $$\sigma_p^2 = w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2 + 2w(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2} \\求W^*使得\sigma_p最小 \Leftrightarrow \sigma_p^2 最小 \\\begin{aligned}f(w) &= w^2 \sigma_1^2 + (1-w)^2 \sigma_2^2 + 2w(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2} \\f'(w)&= 2w \sigma_1^2 + 2(1-w) \sigma_2^2 + 2(1-w)\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2} - 2w\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2} = 0 \\\Rightarrow &w^* = \frac{\sigma_2^2-\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2}}{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2}} \\f''(w^*) &= 2\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2 - 4\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2} > 2(\sigma_1 - \sigma_2)^2 > 0\\\Rightarrow &\sigma_p 在w^*处取得最小值 \\下证：\sigma_p^{*} < \sigma_2 \\\sigma_p^{*2} &= w^{*2} \sigma_1^2 + (1-w^*)^2 \sigma_2^2 + 2w^*(1-w^*)\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2} \\&= \frac{(1-\rho_{1,2}^2)\sigma_1^2\sigma_2^2}{\sigma_1^2+ \sigma_2^2-2\sigma_1\sigma_2\rho_{1,2}} < \sigma_2^2 \\下证：曲线是凸函数\\\end{aligned}$$

$w$	$w<w^*$	$W^*$	$w>w^*$
f'(w)	-	0	+
f''(w)	+	+	+
f(w)	$\searrow$	极小值	$\nearrow$

• 当$w>w^*$时：
  $$\begin{aligned}\frac{\partial{E(r_p)}}{\partial{\sigma_p}}&的符号 \Rrightarrow \frac{\partial{E(r_p)}}{\partial{\sigma_p^2}}的符号 \\\frac{\partial{E(r_p)}}{\partial{\sigma_p^2}} &= \frac{\partial{E(r_p)}/\partial{w}}{f'(w)} = \frac{\bar{r_1} - \bar{r_2}}{f'(w)} > 0 \\\therefore 从MVP&点到A_1斜率为正 \\\frac{\partial\frac{\partial{E(r_p)}}{\partial{\sigma_p^2}}}{\partial{\sigma_p^2}}&=\frac{\partial\frac{\partial{E(r_p)}}{\partial{\sigma_p^2}}/\partial{w}}{\partial{\sigma_p^2}/\partial{w}} = \frac{-\frac{\bar{r_1} - \bar{r_2}}{f'(w)}f''(w)}{f'(w)} <0 \\\therefore 从MVP&点到A_1为凸函数 \\\end{aligned}$$
• 同理，当$w<w^*$时:
  $$从MVP点到A_2斜率为负 \\从MVP点到A_2为凸函数 \\$$

多个风险组合

因为每两个资产组合可以看成一个新的资产，那么n个资产组合就可以看成1个资产与n-1个资产组合的形式，也就是两个风险资产的组合(资产组合也是一个新资产)，所以跟上面两个风险资产组合的分析无异；

将多个风险组合的所有可行点描述在M-V图中，便得到了投资者的投资可行集，将投资可行集上最优的点集(efficiency frontier)与投资者的无差异曲线相切，便得到了投资者投资风险资产的选择；

而得到最优点集的标准是E-V准则
$$均方有效准则：\begin{cases}E(r_p)一定时，&\sigma_p最小\\\sigma_p一定时，&E(r_p)最大\\\end{cases}$$

画在图上就是：

无风险资产与多个风险资产的组合

无风险资产与风险资产的组合永远是一条直线，通过无风险资产，最优的投资可行集从双曲线变成了一个射线,称之为Capital Market Line(也称为均方有效的风险资产与无风险资产的资产组合集)； 切点为市场组合M，射线方程为:

$$\bar{r} - r_f = \frac{\bar{r_m}-r_f}{\sigma_M}\sigma$$

画在图上就是：

从图中可以看出CML下的投资者的无差异曲线严格优于efficient frontier的无差异曲线，所以投资者会选择市场组合M与无风险资产来实现自己的效用最大化；

这里就可以看出Markowitz的理论与传统理论的不同了

• 传统理论认为，风险偏好低的投资者应该买低风险的资产，风险偏好高的投资者应该买高风险的资产；
• 而markowitz认为所有投资者都买同样的资产-市场组合，只是通过无风险资产与风险资产的配比来实现自己的效用最大化；

Mutal Fund Separation Theorem

由上面的结论显而易见的能得到共同基金分离定理

1. 基金经理构造市场组合M(不需要考虑风险偏好)
2. 投资者根据自己的风险偏好构造特殊资产组合 $\max_{w} U(r_f,r_m,\sigma_m,w)$

Capital Asset pricing model(CAPM)的推导

基本假设

• 市场假设：
  • No transaction cost
  • No taxes
  • Perfect competition
  • Infinitely divisiable(投资可以无限细分)
• 投资者假设:
  • Mean-Variance Perference(持有相同的市场组合)
  • No limits on short shorting
  • comment belief(相同预期)

基于效用函数的推导

• 投资者的效用函数$U(r) = E(r) - A\sigma^2(r)$(A巧好使得投资者的最优组合是市场组合M，只是方便推导)
• 假设投资者再构建一个组合，这个组合至少不优于市场组合M

	市场组合	另一个资产
收益率	$\tilde{r_M}$	$\tilde{r_i}$
标准差	$\sigma_M$	$\sigma_i$
组合权重	$1-w$	$w$

$$\begin{aligned}u(r_p) &=u[wr_i+(1-w)r_M] \\&= E[wr_i+(1-w)r_M] - A\sigma^2[wr_i+(1-w)r_M]\\&= wE[r_i]+(1-w)E[r_M] - A[w^2\sigma_i^2+(1-w)^2\sigma^2_M+2w(1-w)\sigma_{i,M}]\\&= wE[r_i]+(1-w)E[r_M] - Aw^2(\sigma_i^2+\sigma^2_M-2\sigma_{i,M})-2Aw(\sigma_{i,M}-\sigma_{M}^2)\\计算&从市场组合转为组合p的边际效用\\\frac{u(r_p)}{dw} &= E(r_i) - E(r_M) - 2Aw(\sigma_i^2+\sigma^2_M-2\sigma_{i,M})-2A(\sigma_{i,M}-\sigma_{M}^2)\\因为&市场组合是投资者的最优组合，所以在w=0处边际效用为0 \\\frac{u(r_p)}{dw} |_{w=0} &= E(r_i) - E(r_M) -2A(\sigma_{i,M}-\sigma_{M}^2)=0 \quad (*)\\上式&对任一资产i都成立，显然对无风险资产也成立 \\&r_f-E(r_M) +2A\sigma_{M}^2=0\\\therefore A &= \frac{E(r_M)-r_f}{2\sigma_{M}^2} \\将A&带回(*)式\\&E(r_i) - E(r_M) -\frac{E(r_M)-r_f}{\sigma_{M}^2}(\sigma_{i,M}-\sigma_{M}^2)=0\\\Rightarrow & E(r_i)-r_f = \frac{\sigma_{i,M}}{\sigma_{M}^2}[E(r_M)-r_f] \\定义&\beta_i = \frac{\sigma_{i,M}}{\sigma_{M}^2},则上式变为CAPM\\& E(r_i)-r_f = \beta_i[E(r_M)-r_f] \\\end{aligned}$$

基于组合构建的推导

根据CML的特点，所有投资者都会选择同一个市场组合M，不能存在比M更优的组合，基于这一点来推导CAPM

• 假设投资者再构建一个组合，这个组合至少不优于市场组合

	市场组合	另一个风险资产
收益率	$\tilde{r_M}$	$\tilde{r_i}$
标准差	$\sigma_M$	$\sigma_i$
组合权重	$1-w$	$w$

这个新组合有如下特点

• 经过点M
• 在Efficient frontier内
• 与Efficient frontier相切与点M
  

$$\begin{aligned}E(r_p) &= E[w\tilde{r_i}+(1-w)\tilde{r_M}]\\&=w[E(\tilde{r_i})-E(\tilde{r_M})] + E(\tilde{r_M})\\\sigma^2(r_p) &= w^2 \sigma_i^2 + (1-w)^2 \sigma_M^2 + 2w(1-w)\sigma_{i,M}\\\frac{dE(r_p)}{d\sigma(r_p)}|_{w=0} &=\frac{dE(r_p)/dw}{d\sigma(r_p)/dw}|_{w=0} \\&=\frac{E(r_i)-E(r_M)}{\frac{2w \sigma_i^2 - 2(1-w) \sigma_M^2 + 2(1-2w)\sigma_{i,M}}{2\sigma_p}}|_{w=0} \qquad (\frac{d\sigma_p^2}{dw} = 2\sigma_p\frac{d\sigma_p}{dw})\\&= \frac{E(r_i)-E(r_M)}{w \sigma_i^2 - (1-w) \sigma_M^2 + (1-2w)\sigma_{i,M}}\sigma_p|_{w=0}\\&=\frac{E(r_i)-E(r_M)}{ - \sigma_M^2 + \sigma_{i,M}}\sigma_m \\利用&斜率与SML相等\\\frac{E(r_i)-E(r_M)}{ - \sigma_M^2 + \sigma_{i,M}}\sigma_m& = \frac{E(r_m)-r_f}{\sigma_M} \\\Rightarrow & E(r_i)-r_f = \frac{\sigma_{i,M}}{\sigma_{M}^2}[E(r_M)-r_f] \\定义&\beta_i = \frac{\sigma_{i,M}}{\sigma_{M}^2},则上式变为CAPM\\& E(r_i)-r_f = \beta_i[E(r_M)-r_f] \\\end{aligned}$$

这条CAPM得出的方程称为Securities Market line(SML),SML是给资产定价的曲线，在线上的点表示处于均衡转态，不在线上表示不均衡；

SML与CML的区别

$$\begin{cases}CML: E(r_i) = r_f + \frac{\sigma_i}{\sigma_m}[E(r_m)-r_f] \\SML: E(r_i) = r_f + \beta_i[E(r_m)-r_f] \\\end{cases}$$

• 共同形式： Expected rate of return = risk free + risk premium(=measure of risk $\times$ price of risk)
• SML与CML都是正确的，为什么measure of risk不同？
  • SML对所有资产(包括无风险资产)都成立
  • CML只对部分资产成立(只对那些与市场组合有相同sharpe ratio的资产成立)

(资产A在SML上但不在CML上)

CAPM的应用及局限

Estimate of CAPM

$$\tilde{r_i} \triangleq r_i - r_f\\\tilde{r_m} \triangleq r_m - r_f\\SML: \tilde{r_i} = \beta_i \tilde{r_m}\\计量写法: \tilde{r_i} = \alpha_i + \beta_i\tilde{r_m}+\tilde{\epsilon_i}\\OLS估计 \Rightarrow \hat{\beta_i} = \frac{\sigma_{i,m}}{\sigma_m^2}\\\begin{aligned}Var(\tilde{r_i}) &= Var(\alpha_i + \beta_i\tilde{r_m}+\tilde{\epsilon_i}) \\&= \beta_i^2Var(\tilde{r_m}) + Var(\tilde{\epsilon_i}) + 2\beta_iCov(\tilde{r_i},\tilde{r_m}) \\&= \beta_i^2\sigma_m^2 + \sigma^2_{\epsilon}\\\end{aligned}$$
对于$Var(\tilde{r_i})$的结果，前者是systematic risk，后者是idiosyncrasy risk；

CAPM的局限

1. Partial Equilibrium(只是在Capital market下的Equilibrium)
2. static model(只考虑一期)
3. Single index model(个体回报只与市场组合有关)