看骰子的六个面需要多少次 -- 潘登同学的概率论笔记

来源

前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

解答

简化为硬币问题

一般做法

• 假设两次就能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正反"or“反正”(另外两个为"正正"，"反反"），概率为$\frac{1}{2}$；
• 假设三次才能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正正反"or“反反正”(另外两个为"正正正"，"反反反"），概率为$\frac{1}{4}$(因为"正正"，"反反"出现的概率为$\frac{1}{2}$)；
• 以此类推...

$$\begin{aligned} En &= 2*\frac{1}{2}+3*\frac{1}{4}+\dots+k*\frac{1}{2^{k-1}} \\ 2En&= 2+3*\frac{1}{2}+\dots+k*\frac{1}{2^{k-2}} \\ 下减上 \quad En &= 2 +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{k-2}} - k*\frac{1}{2^{k-1}} = 3 \end{aligned}$$

递推的方法

将$E_2$记为看到两名所用的平均次数，将$E_1$记为看到一面所用的平均次数
$$\begin{aligned} E_2 &= \frac{1}{2}(1+E_1) + \frac{1}{2}(1+E_1) \\ \end{aligned}$$
其中前一个$\frac{1}{2}(1+E_1)$表示第一次投到正面所需的平均次数(这个$E_1$表示投到反面所需的平均次数)，后一个$\frac{1}{2}(1+E_1)$表示第一次投到反面所需的平均次数(这个$E_1$表示投到正面所需的平均次数)；

而$E_1$如果表示投到反面所需的平均次数
$$E_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1+E_1)$$
其中前一个$\frac{1}{2}$表示第一次就投到反面，后一个$\frac{1}{2} E_1$表示第一次投到正面；

可以从中解出
$$E_1 = 2 \\ E_2 = 3$$

回到骰子问题

如果对于骰子仍采用一般解法，那会非常复杂；故采取递推方式
$$\begin{aligned} E_6 &= \frac{1}{6}(1+E_5) + \dots + \frac{1}{6}(1+E_5) \\ &=(1+E_5) \\ E_5 &= \frac{1}{6}(1+E_5) + \frac{5}{6}(1+E_4) \\ &=\frac{6}{5} + E_4 \\ E_4 &= \frac{2}{6}(1+E_4) + \frac{4}{6}(1+E_3) \\ &=\frac{6}{4} + E_3 \\ E_3 &= \frac{3}{6}(1+E_3) + \frac{3}{6}(1+E_2) \\ &=\frac{6}{3} + E_2 \\ E_2 &= \frac{4}{6}(1+E_2) + \frac{3}{6}(1+E_1) \\ &=\frac{6}{2} + E_1 \\ E_1 &= \frac{5}{6}(1+E_1) + \frac{1}{6} \\ \end{aligned}$$

解得
$$E_1 = 6 \\ E_6 = 1 + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + 6 \\$$