transfromer-XL论文详解 -- 潘登同学的NLP笔记

Transformer-XL是对Transformer的改进或变种，主要是解决长序列的问题，其中XL表示extra long，在最近流行的XLNet中就是使用Transformer-XL作为基础模块。在下文中，是将Trm-XL放在类似GPT这样的语言模型框架中来介绍，所以理解的时候要放在整个模型中去理解，而不是一个单独的Trm-XL。

Vanilla Transformer

transformer作为一种特征提取器，在NLP中有广泛的应用。但是Trm需要对输入序列设置一个固定的长度，比如在BERT中，默认长度是512。如果文本序列长度短于固定长度，可以通过填充的方式来解决。如果序列长度超过固定长度，处理起来就比较麻烦。一种处理方式，就是将文本划分为多个segments。训练的时候，对每个segment单独处理，segments之间没有联系，如下图(a)所示。这存在两个问题，1）因为segments之间独立训练，所以不同的token之间，最长的依赖关系，就取决于segment的长度；2）出于效率的考虑，在划分segments的时候，不考虑句子的自然边界，而是根据固定的长度来划分序列，导致分割出来的segments在语义上是不完整的。

在预测的时候，会对固定长度的segment做计算，一般取最后一个位置的隐向量作为输出。为了充分利用上下文关系，在每做完一次预测之后，就对整个序列向右移动一个位置，再做一次计算，如上图(b)所示，这导致计算效率非常低。

Segment-Level Recurrence

为了解决上面提到的问题，在Trm的基础上，Trm-XL提出了一个改进，在对当前segment进行处理的时候，缓存并利用上一个segment中所有layer的隐向量序列，而且上一个segment的所有隐向量序列只参与前向计算，不再进行反向传播，这就是所谓的segment-level Recurrence。

Trm本身是可以设置multi-heads，但是在后文中为了简化描述采用单个head。将两个连续的segments表示为

• $S_{\tau}=[x_{\tau,1},x_{\tau,2},\ldots,x_{\tau,L}]$
• $S_{\tau+1}=[x_{\tau+1,1},x_{\tau+1,2},\ldots,x_{\tau+1,L}]$

L是序列长度假设整个模型中，包含N层Trm，那么每个segment中就有N组长度为L的隐向量序列，将第$\tau$个segment的第n层隐向量序列表示为 $h_{\tau}^{n}\in R^{L\times d}$,d是隐向量维度.那么第$\tau+1$个segment的第n层隐向量序列，可以由下面的一组公式计算得出。 $$ \tilde{h}_{\tau+1}^{n-1} = [SG(h_{\tau}^{n-1}),h_{\tau+1}^{n-1}] \qquad (表示对两个向量的拼接,拼接后为2L\times d) \ \qquad \ q_{\tau+1}^n,k_{\tau+1}^n,v_{\tau+1}^n = h_{\tau+1}^{n-1}W_q^T,\tilde{h}_{\tau+1}^{n-1}W_k^T,\tilde{h}_{\tau+1}^{n-1}W_v^T \ \qquad \ {h}_{\tau+1}^{n-1} = Transformer\quad Layer(q_{\tau+1}^n,k_{\tau+1}^n,v_{\tau+1}^n) $$ 注意q的计算方式不变，只使用当前segment中的隐向量，计算得到的q序列长度仍然是L。k和v采用拼接之后的$\tilde{h}$来计算，计算出来的序列长度是2L。之后的计算就是标准的Transformer计算。计算出来的第n层隐向量序列长度仍然是L，而不是2L。Trm的输出隐向量序列长度取决于query的序列长度，而不是key和value。

推导一下:

• $Q[L\times d] \cdot K^T[d\times 2L] = [L\times 2L] \cdot V[2L\times d] = [L\times d]$

训练和预测过程如下图所示。这张图上有一个点需要注意，在当前segment中，第n层的每个隐向量的计算，都是利用下一层中包括当前位置在内的，连续前L个长度的隐向量，这是在上面的公式组中没有体现出来的，也是文中没有明说的。每一个位置的隐向量，除了自己的位置，都跟下一层中前(L-1)个位置的token存在依赖关系，而且每往下走一层，依赖关系长度会增加(L-1)，如下图中Evaluation phase所示，所以最长的依赖关系长度是N(L-1)，N是模型中layer的数量。N通常要比L小很多，比如在BERT中，N=12或者24，L=512，依赖关系长度可以近似为$O(N\times L)$ 。在对长文本进行计算的时候，可以缓存上一个segment的隐向量的结果，不必重复计算，大幅提高计算效率。

上文中，我们只保存了上一个segment，实际操作的时候，可以保存尽可能多的segments，只要内存或者显存放得下。论文中的试验在训练的时候，只缓存一个segment，在预测的时候，会缓存多个segments。

Relative Position Encodeings

在vanilla Trm中，为了表示序列中token的顺序关系，在模型的输入端，对每个token的输入embedding，加一个位置embedding。位置编码embedding或者采用正弦\余弦函数来生成，或者通过学习得到。在Trm-XL中，这种方法行不通，每个segment都添加相同的位置编码，多个segments之间无法区分位置关系。Trm-XL放弃使用绝对位置编码，而是采用相对位置编码，在计算当前位置隐向量的时候，考虑与之依赖token的相对位置关系。具体操作是，在算attention score的时候，只考虑query向量与key向量的相对位置关系，并且将这种相对位置关系，加入到每一层Trm的attention的计算中。

我们对两种方法做个对比。下面一组公式是vanilla Trm计算attention的方式， $E_x$表示token的输入embedding，U是绝对位置编码embedding，两个W分别是query矩阵和key矩阵。下面的公式是对$(E_{x_i}+U_i)W_q^TW_k(E_{x_j}+U_j)$做了分解。 $$ A_{i,j}^{abs} = E_{x_i}^TW_q^TW_KE_{x_j} + E_{x_i}^TW_q^TW_KU_j + U_{i}^TW_q^TW_KE_{x_j} + U_{i}^TW_q^TW_KU_{j} $$

下面一组公式，是Trm-XL计算attention的方式。首先，将绝对位置编码U，替换成了相对位置编码$R_{i-j}$ 。插一句，因为i只利用之前的序列，所以i-j>=0。并且把$W_k$矩阵分为$W_{k,E}和W_{k,R}$,用于分别生成基于内容的key向量和基于位置的key向量, $$ A_{i,j}^{rel} = E_{x_i}^TW_q^TW_{k,E}E_{x_j} + E_{x_i}^TW_q^TW_{k,R}R_{i-j} + U_{i}^TW_q^TW_{k,E}E_{x_j} + U_{j}^TW_q^TW_{k,R}R_{i-j} $$

相对位置关系用一个位置编码矩阵$R\in R^{L_{max}\times d}$ 来表示，第i行表示相对位置间隔为i的位置向量。论文中强调R采用正弦函数生成，而不是通过学习得到的，好处是预测时，可以使用比训练距离更长的位置向量。

最终总结

最后来看一下Trm-XL的完整计算公式，如下所示，只有前3行与vanilla Trm不同，后3行是一样的。第3行公式中，计算A的时候直接采用query向量，而不再使用 表示。最后需要注意的是，每一层在计算attention的时候，都要包含相对位置编码。而在vanilla Trm中，只有在输入embedding中才包含绝对位置编码，在中间层计算的时候，是不包含位置编码的。

$$ \tilde{h}_{\tau+1}^{n-1} = [SG(h_{\tau}^{n-1}),h_{\tau+1}^{n-1}] \ \qquad \ q_{\tau+1}^n,k_{\tau+1}^n,v_{\tau+1}^n = h_{\tau+1}^{n-1}W_q^T,\tilde{h}_{\tau+1}^{n-1}W_k^T,\tilde{h}_{\tau+1}^{n-1}W_v^T \ \qquad \ {h}_{\tau+1}^{n-1} = Transformer\quad Layer(q_{\tau+1}^n,k_{\tau+1}^n,v_{\tau+1}^n) \ \qquad \ A_{i,j}^{rel} = E_{x_i}^TW_q^TW_{k,E}E_{x_j} + E_{x_i}^TW_q^TW_{k,R}R_{i-j} + U_{i}^TW_q^TW_{k,E}E_{x_j} + U_{j}^TW_q^TW_{k,R}R_{i-j} \ \qquad \ \alpha_{\tau}^n = Masked\quad Softmax(A_{\tau}^n)V_{\tau}^n \ \qquad \ o_{\tau}^n = LayerNorm(Linear(\alpha_{\tau}^n)+{h}_{\tau+1}^{n-1}) \ \qquad \ h_{\tau}^n = Positionwise\quad Feed\quad Forward(o_{\tau}^n) $$

总结，Trm-XL为了解决长序列的问题，对上一个segment做了缓存，可供当前segment使用，但是也带来了位置关系问题，为了解决位置问题，又打了个补丁，引入了相对位置编码。