股票期权的性质

作者: pdnbplus | 发布时间: 2024/06/20 | 阅读量: 252

股票期权的性质--潘登同学的期权、期货及其他衍生品学习笔记

  • 影响期权价格的因素 Factors Affecting Option Prices
  • 看跌看涨平价关系式 (无股息) Put-Call Parity (No Dividend)

    • 符号 Symbol

    • 𝑐 欧式看涨期权价格 European call option price
    • 𝐶 美式看涨期权价格 American call option price
    • 𝑝 欧式看跌期权价格 European put option price
    • 𝑃 美式看跌期权价格 American put option price
    • $S_0$ 股票现价 Current stock price
    • $S_T$ 期权到期时刻价格 Price at option expiration
    • 𝐾 交割价格 Strike price
    • 𝐷 期权有效期内支付的股息的现值 PV of dividends paid during the life of the option
    • 𝑇 期权期限 Option duration
    • 𝜎 股票价格波动率 Stock price volatility
    • 𝑟 无风险利率 Risk-free rate

    影响期权价格的因素 Factors Affecting Option Prices

    Variable\Value European call European put American call American put
    Current stock price + - + -
    Strike price - + - +
    Time to expiration ? ? + +
    Volatility + + + +
    Risk free rate + - + -
    Amount future dividends - + - +
    • 美式与欧式期权的价格 Prices of American & European Options
      • 美式期权的价格至少与相应的欧式期权一样高 American options are at least as expensive as the corresponding European options
        • $C ≥ c$
        • $P ≥ p$

    期权价格的上限 Upper Bounds for Option Prices

    • 看涨期权 Call Options
      • 欧式 European Options $C ≤ S_0$ (如果高于股价，直接买股票就行)
      • 美式 American Options $C ≤ S_0$
    • 看跌期权 Put Options
      • 欧式 European Options $p ≤ Ke^{−rT}$
      • 美式 American Options $p ≤ K$

    期权价格的下限 Lower Bounds for Option Prices

    • 看涨期权 Call Options
      • 组合A：一份欧式看涨期权+ 时间 T 提供 K 收益的零息债券 Portfolio A: 1 European call option + 1 zero-coupon bond providing a return of K at time T
        • $S_T\geq K$：行使期权，组合A价值为 $V_{portfolio A}=S_T-K+K=S_T$ Exercise the option, and the value of portfolio A is $V_{portfolio A}=S_T-K+K=S_T$
        • $S_T < K$：不行使期权，组合A价值为 $V_{portfolio A}=K$ The option is not exercised, and the value of portfolio A is $V_{portfolio A}=K$
        • T 时刻的价值为 $\max(S_T,K)$ The value at time T is $\max(S_T,K)$
        • 0 时刻的价值为 $c+Ke^{-rt}$ The value at time 0 is $c+Ke^{-rt}$
      • 组合B：买入一股股票 Portfolio B: Buy one share of stock
        • T 时刻的价值为 $V_{portfolio B}=S_T$ The value at time T is $V_{portfolio B}=S_T$
        • 0 时刻的价值为 $V_{portfolio B}=S_0$ The value at time 0 is $V_{portfolio B}=S_0$ $$ V_T^A = \max(S_T,K) \geq S_T = V_T^B \Rightarrow V_0^A \geq V_0^B $$
      • $c\geq \max(S_0-Ke^{-rT},0)$

    记忆方法： T时刻，$c\geq \max(S_T-K,0)$,贴现到0时刻，$c\geq \max(S_0-Ke^{-rT},0)$

    • 看跌期权 Put Options
      • 组合C：一份欧式看跌期权 + 买入一股股票 Portfolio C: 1 European put option + buying 1 share of stock
        • $S_T\leq K$：行使期权，组合C价值为 $V_{portfolio C}=K-S_T+S_T=S_T$ Exercise the option, and the value of Portfolio C is is $V_{portfolio C}=K-S_T+S_T=S_T$
        • $S_T > K$：不行使期权，组合C价值为 $V_{portfolio C}=S_T$ Do not exercise the option, and the value of Portfolio C is $V_{portfolio C}=S_T$
        • T 时刻的价值为 $\max(S_T,K)$ The value at time T is $\max(S_T,K)$
        • 0 时刻的价值为 $p+S_0$ The value at time 0 is $p+S_0$
      • 组合D：时间 T 提供 K 收益的零息债券 Portfolio D: A zero-coupon bond that provides a return of K at time T
        • T 时刻的价值为 $V_{portfolio D}=K$ The value at time T is $V_{portfolio D}=K$
        • 0 时刻的价值为 $V_{portfolio D}=Ke^{-rT}$ The value at time 0 is $V_{portfolio D}=Ke^{-rT}$ $$ V_T^C = \max(S_T,K) \geq K = V_T^D \Rightarrow V_0^C \geq V_0^D $$
      • $p\geq \max(Ke^{-rT}-S_0,0)$

    记忆方法： T时刻，$p\geq \max(K-S_T,0)$,贴现到0时刻，$c\geq \max(Ke^{-rT}-S_0,0)$

    看涨期权：套利机会？Call Option: Arbitrage Opportunity?

    • 𝑐 = 3
    • 𝑇 = 1
    • 𝐾 = 18
    • $S_0$ = 20
    • 𝑟 = 10%
    • 𝐷 = 0
      • 有套利机会吗？
      • Is there any arbitrage opportunity?

    $$ c\leq S_0(3\leq 18),小于上限 \ 下限： \max(S_0-Ke^{-rT},0)=\max(20-18e^{-10\%},0)=3.71\ c < 3.71,小于下限，存在套利机会\ $$

    看跌期权：套利机会？ Put Option: Arbitrage Opportunity?

    • 𝑝 = 1
    • 𝑇 = 0.5
    • 𝐾 = 40
    • $S_0$ = 37
    • 𝑟 = 5%
    • 𝐷 = 0
      • 有套利机会吗？
      • Is there any arbitrage opportunity?

    $$ p\leq Ke^{-rT}(1\leq 40e^{-5\%}=38.05),小于上限 \ 下限： \max(Ke^{-rT}-S_0,0)=\max(40e^{-10\%}-37,0)=1.049\ p < 1.049,小于下限，存在套利机会\ $$

    看跌看涨平价关系式 (无股息) Put-Call Parity (No Dividend)

    考虑以下两个投资组合 Consider the following two portfolios：

    • 组合A： 1份欧式看涨期权 + 在时间 T 收益为 K 的零息债券 Portfolio A: 1 European call option + zero-coupon bond with payoff K at time T
    • 组合C： 1份欧式看跌期权 + 1股股票 Portfolio C: 1 European put option + 1 stock

    Value of Portfolio A and Portfolio C at time T

    $S_T>K$ $S_T
    Portfolio A call option $S_T-K$ 0
    zero-coupon bond $K$ $K$
    total $S_T$ $K$
    Portfolio C put option 0 $K-S_T$
    stock $S_T$ $S_T$
    total $S_T$ $K$
    • 在期权到期时，组合A和C的期末价值都是 $\max(S_T,K)$ At the due of option, the end-of-period values of portfolios A and C are both $\max(S_T,K)$
    • 这意味着它们在起初的价值须相同 This means that they must have the same initial values

    $$ c + K*e^{-rT} = p + S_0 $$

    套利机会 Arbitrage Opportunity

    • 𝑐 = 3
    • 𝑇 = 0.25
    • 𝐾 = 30
    • $S_0$ = 31
    • 𝑟 = 10%
    • 𝐷 = 0

    When is possible to arbitrage?

    • 𝑝 = 2.25?
    • 𝑝 = 1?

    $$ p = c + Ke^{-rT} - S_0 = 3+30e^{-10\%*0.25} - 31 = 1.259 \ \text{当p = 2.25时，存在套利机会，short put option} \ \text{当p = 1时，存在套利机会，long put option} \ $$

    美式期权及股息问题

    当没有股息时，美式期权服从如下关系式 $$ S_0-K\leq C-P \leq S_0 -K*e^{-rT} $$

    美式看涨期权不会提前行权

    欧式期权的Put-Call Parity:对于没有dividend的underlying： $$ \begin{aligned} C&=P+ S- Ke^{-rT} \ &=P + （S-K）+（K-Ke^{-rT}）\ \end{aligned} $$ 如果美式看涨期权提前执行，得到的payoff是等式右边中间项（S-K）， 比到期时执行少了一个$（K-Ke^{-rT}）$的部分，也就是strike K的time-value，而这个部分显然不可能为负；再加上少了P的价格，同样永远大于或等于零——所以美式看涨期权的提前执行始终不是最有利的。

    所以$C=c$,其上下界为$[\max(S_0-K*e^{-rT},0), S_0]$,如下图所示。

    在这里插入图片描述

    当没有股息时，美式与欧式看涨期权的价格与股票价格$S_0$之间的变化关系，当利率、期限或股票价格波动率增长时，曲线朝箭头所指方向移动。

    在这里插入图片描述

    美式看跌期权可能提前行权

    提前行使无股息股票上的看跌期权有时可能是最优的。事实上，在期权期限内的任一给定时刻，当期权的实值程度足够大时，都应该提前行使期权。 为了说明这一点，考虑以下极端情形:假定执行价格为 10 美元，股票价格几乎为0。通过立即行使期权，投资者可以马上得到近 10 美元。如果投资者选择等待，行使期权的盈利可能低于10 美元，但不可能高于 10 美元，这是因为股票的价值不可能为负值。不仅如此，在现在收到 10 美元要比在将来收到 10 美元更好，所以应该马上行使期权。

    无股息股票美式看跌期权的上下界为$[\max(K-S_0),K]$,欧式看跌与美式看跌的上下界如下图所示。

    在这里插入图片描述

    在一般情况下，美式看跌期权价格随$S_0$变化的形式。只要r>0，当股票价格足够低时，立即行使美式期权的做法总是最优的。当提前行使期权是最优选择时，期权的价值为K-S。因此当S很小时，表示看跌期权价值的曲线与看跌期权的内含价值 K-S相重合。在下图中，这个S的值由A点表示。当r减小，或波动率增大，或期限T增大时，表示看跌期权价格与股票价格之间关系的曲线会向箭头所指方向移动。

    在这里插入图片描述

    由于在某些情形下提前行使美式看跌期权是最优的，因此美式看跌期权的价格总是会高于相应的欧式看跌期权价格。而且由于美式看跌期权的价值有时等于其内含价值。因此欧式看跌期权的价值有时会低于内含价值，这说明表示欧式期权价格与标的股票价格之间关系的曲线将会位于相应美式期权曲线之下。

    欧式看跌期权价格随股票价格变化的图如下。注意在欧式看跌期权图的B点上，期权价格等于其内含价值，它所代表的股票价格必须大于美式看跌期权图中A 点所代表的股票价格这是因为欧式看跌期权图中的曲线位于美式看跌期权图中的曲线之下。在欧式看跌期权图中，E点对应于S=0，从而看跌期权价格为$Ke^{-rT}$的情形。

    在这里插入图片描述

    股息对期权的影响 Effects of Dividends

    欧式期权，看涨期权与看跌期权的下限 Lower bounds for Calls and Puts $$ c\geq S_0-D-Ke^{-rT}\ p\geq D+Ke^{-rT}-S_0 $$

    欧式期权，看跌-看涨平价关系式 Put-Call Parity $$ c+D+Ke^{-rT}=p+S_0 $$

    美式期权，看跌-看涨平价关系式 $$ S_0-D-K\leq C-P \leq S_0 -K*e^{-rT} idends

    欧式期权，看涨期权与看跌期权的下限 Lower bounds for Calls and Puts $$ c\geq S_0-D-Ke^{-rT}\ p\geq D+Ke^{-rT}-S_0 $$

    欧式期权，看跌-看涨平价关系式 Put-Call Parity $$ c+D+Ke^{-rT}=p+S_0 $$

    美式期权，看跌-看涨平价关系式 $$ S_0-D-K\leq C-P \leq S_0 -K*e^{-rT} $$