利率期货

作者: pdnbplus | 发布时间: 2024/06/20 | 阅读量: 563

利率期货--潘登同学的期权、期货及其他衍生品学习笔记

  • 天数计算
  • 利率期货--美国国债期货
  • 利率期货--欧洲美元期货(Eurodollar Futures)

    • 天数计算

    两日之间的利息计算（Interest calculation between two days） $$ AI = \frac{\text{𝑁𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑑𝑎𝑦𝑠 𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛 2 𝑑𝑎𝑡es}}{\text{𝑁𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑑𝑎𝑦𝑠 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑}}\times \text{𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑎𝑟𝑛𝑒𝑑 𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑}s $$

    • 以美国为例(Take the United States as an example)
    证券 计算方式
    长期国债(Long-term Treasury Bonds) 实际(Actual)/实际期间(Actual in Period)
    公司债券(Corporate Bonds) 30/360
    货币市场工具 (如短期国债)(Money Market Instruments) 实际(Actual)/360

    $$ G = ln S \ S = e^G \ E(S) = E(e^G) = \int f(G)*e^G dG\ $$

    国债报价

    • 美国短期国债（U.S. Treasury Bill）

    $$ p = \frac{360}{n}(100-Y) $$

    • Y 代表每\$100的现金价格 (Y represents the cash price per \$100)
    • P 代表报价(P is for quote) (没360天所的利率为面值的P\%)
    • n 代表债券期限内以日历天数计算的剩余天数 (n represents the remaining days in calendar days within the bond term)
    • 贴现率方式，代表所得利息作为最终面值的比例 (Discount rate method, which represents the proportion of interest earned as the final face value)

    如果一份90天期限的美国短期国债现金价格为\$99，则其报价是多少？(If the cash price of a 90-day U.S. Treasury note is \$99, what is the quoted price?) $$ P = \frac{360}{90} (100-99) = 4 $$

    • 美国长期国债(U.S. Treasury Bond)

    $$ 现金价格(带息价格) = 报价(纯净价) + 应计利息(自上一个付息日) \ \text{Cash price} = \text{Quoted price} + \text{Accrued interest since the last coupon date} $$

    假设现在是 2015 年 3 月 5 日，一份 2038 年 7 月 10 日到期的美国长期国债的票面利率是 11%，报价为\$155.50, 国债每半年付息一次，最近的票息日为 2015-01-10，下一个票息日为 2015-07-10, 该票面价值为\$100国债的现金价格是多少？(Assume that it is March 5, 2015, and a long-term U.S. Treasury note due July 10, 2038 has a coupon rate of 11% and is quoted at \$155.50,National debt is paid semi-annually, the latest coupon date is 2015-01-10, and the next coupon date is 2015-07-10,What is the cash price of this $100 face value Treasury bond? )

    $$ \text{Accrued interest} = 5.5\% \frac{54}{181} 100 = 1.64 \ \text{Cash price} = 1.64 + 155.5 = 157.14 $$

    利率期货--美国国债期货

    债券的报价

    （与面值无关，只是用于举例）一般美国国债每份交割面值为10万美元

    • 面值为1000的债券，采用1/8报价，97-04，表示97+4/8=97.5， 实际价格为975元
    • 面值为100的债券，采用1/32报价，100-27，表示100+27/35=100.77， 实际价格为100.77元
    • 面值为5000的债券，采用1/32的1/2报价，138-225，表示138+22/32+1/32*1/2=138.703121， 实际价格为6935.156元
    • 面值为100的债券，采用1/32的1/4报价，120-227，表示120+22/32+1/32*3/4=120.71， 实际价格为120.71元 （也就是这里的227其实是2275）

    通常，无论是1/32的1/8、1/32的1/4还是1/32的1/2，关键只要看小数点后第三位，0、2、5、7，分别表示1/32的0、1/4、1/2、3/4。

    转换因子

    长期国债期货允许合约的空头方选择交割任何期限介于15年和25年之间的债券。当交割选定债券时，需要根据转换因子确定交割价格。

    $$ 现金价格 空头方收取 = 最近结算价 × 转换因子 + 应计利息 \ \text{Cash price} = \text{Latest settlement price} \times \text{Conversion factor} + \text{Accrued interest} \ $$

    • 最近结算价: 期货价格，也是标准债券价格，但是实际交割的债券不是标准债券，需要将标准债券转化为交割的非标准债券。
    • 转换因子： 1单位面值非标准债券（以半年付息一次6%的债券来贴现的）的现值。

    真正的说法不是将非标准债券转化为统一状态，而是将标准债券转化为那一种特定的债券,所以乘上转换因子的目的是将标准债券的现值转化为非标准债券，根据非标准债券（也就是交割的债券）的现金价格进行交易.当且仅当交割的债券就是标准债券的时候，转换因子为1。

    券息率=10%，期限为20年（Coupon rate = 10%, Time to Maturity is 20 years）的转换因子为 $$ \sum_{i=1}^40 \frac{5}{1.03^i} + \frac{100}{1.03^40} = 146.23 \ 转换因子： 145.23/100=1.4623 $$

    • 票面价值为\$100的国债最近结算价 = \$90.00(Last settlement price of a Treasury bond with a face value of \$100 = \$90.00)
    • 转换因子(交割债券)(Conversion Factor (Delivery Bond) = 1.3800)
    • 债券应计利息(Bond Accrued Interest = \$3.00) – 则债券价格为(Then the bond price is) $$ \text{Cash price} = 90 * 1.38 + 3 = 127.2 $$

    最便宜可交割债券

    在交割月份的任何时候都有许多债券可以用于长期国债期货合约的交割，这些可交割债券具有不同的券息率与期限。空头方可以从这些债券中选出最便宜可交割债券 (cheapest-to-deliver bond)来用于交割。

    • 最便宜可交割债券(Cheapest-to-Deliver Bond): 使[现金价格 买入债券 − 现金价格 空头方收取 ]最小的债券 (The bond that minimizes [Cash price (Long) − Cash price (Short)])

    假设最近一次成交的期货价格为93 − 08,(Assume that the last traded futures price is 93 − 08),市场上有三个可交割债券。

    $$ \text{Latest settlement price}:93+8/32=93.25 \ \text{cost of delivering Bond1}: 99.50 - 93.251.0382 = \$2.69 \ \text{cost of delivering Bond2}: 143..50 - 93.251.5188 = \$1.87 \ \text{cost of delivering Bond3}: 119.75 - 93.25*1.2615 = \$2.12 \ \text{The cheapest-to-deliver bond is Bond 2.} $$

    确定期货价格

    根据这一假设： 最便宜的可交割债券的现金价格 买入债券 = 现金价格 空头方收取

    • 一国债期货合约中，已知最便宜的可交割债券的息券率是 12%，转换因子为 1.6000 (The known Cheapest-to-Deliver bond in a Treasury futures contract has a coupon rate of 12% and a conversion factor of 1.6000)
    • 已知交割日期在 270 天后，券息每半年支付一次 (Coupon is paid semi-annually with a known settlement date of 270 days)
    • 上一次付息日为 60 天前，下一次付息日为 122 天后，之后的付息日为 305 天后 (The last interest payment date is 60 days ago, the next interest payment date is after 122 days, and the subsequent interest payment date is after 305 days)
    • 利率（连续复利）为每年 10% Interest rate (continuously compounded) at 10% per annum
    • 当前债券报价为 115 美元 The current bond quote is \$ 115

    $$ \text{cash price} = 115 + \frac{60}{60+122} * 6 = 116.978 \ \text{PV of coupon payment} = 6e^{-0.1122/365} = 5.803 \ \text{FV of cash price} = (116.978-5.803)e^{-0.1270/365} = 119.711 \ \text{FV of quoted price} = 119.711 - 6*\frac{148}{148+35} = 114.859 \ \text{FV of future's quoted price} = \frac{114.859}{1.6} = 71.79 \ $$

    利率期货--欧洲美元期货(Eurodollar Futures)

    • 欧洲美元期货是 3 个月 LIBOR 利率的期货 Eurodollar futures are futures on the 3-month LIBOR rate
    • 一份合同的规模为 100 万美元 The size of a contract is \$1 million
    • 欧洲美元期货报价变动一个基点或 0.01 对应于 25 美元的合约价格变动 A one basis point or 0.01 change in Eurodollar futures quotes corresponds to a \$25 contract price change
    • 欧洲美元期货合约以现金结算 Eurodollar futures contracts are cash-settled
    • 到期时最终结算价为 100 减去 3 个月 LIBOR (100-R) Final settlement price at maturity is 100 minus 3-month LIBOR
    • 以 LIBOR 利率在每月第三个星期三的两天前为参考 Referenced to the LIBOR rate two days before the third Wednesday of each month
    • 通过欧洲美元期货报价得出的利率为“实际天数/360”，每季度复利； 需要先转换为“实际天数/365”，再转换为连续复利；

    合约的初始价格为 $$ 10,000 * [100 - 0.25(100-99.725)] = 999, 312.5 (美元) $$ 合约的最终价格为 $$ 10,000 [100 - 0.25(100-99.615)] = 999, 037.5 (美元) $$ 最初与最终合约价格的差别为 275， 变动基点为 11 ， 价格变动为 $1125=275(美元)$

    (题）某投资者想锁定从9月第3 个星期三前两天开始的3个月期限利率，面值为1亿美元。我们假定9月的欧洲美元期货报价为96.50，这表明投资者可以锁定的利率为每年3.5%。投资者买入了100 份合约来对冲风险。假设在9月第3个星期三前两天的3个月LIBOR为2.6%，那么最终的成交价格为97.40。 + 投资者在多头中的收益为 $$ 100 * 25 * (9740 - 9650) = 225,000(美元) $$ + 在三个月内投资赚取的利息为 $$ 100 * 1,000,000 * 0.25 * 0.026 = 650,000(美元) $$ 期货收益使得总收益变为 875,000 美元，这对应于利率为3.5%时的利息数量 ($=100,000,000\times 0.25\times 0.035=875000$)。这说明期货交易的效果是将利率锁定在3.5%，即 (100-96.50)%。

    这里看起来好像期货交易会使得在任何情况下都将利率正好锁定在3.5%上。事实上对冲不是完美的，这是因为: 1. 期货合约是每日结算的 (而不是仅在最后); 2. 期货的最后结算是在合约到期日，而 3 个月投资的利率支付是在 3 个月之后。关于第二点，我们可以降低对冲的规模来反映在9月收到资金与在3 个月后收到资金之间的区别。在这种情况下，我们假设在这3个月内的利率是3.5%，然后将$1/(1+0.035 \times 0.25)=0.9913$乘以期货合约的数量。结果是需要购买99 份合约 (而不是100份)。

    远期利率合约(FRA)

    欧洲美元期货与远期利率合约很相似，他们都可以用于锁定在将来某个时间段里的利率。

    • 对于较短的期限 (不长于大约1年)，可以假设欧洲美元期货利率与相应的远期利率相同。

    欧洲美元期货与远期利率合约不同地方，考虑介于时间$T_1$与$T_2$之间的期货利率合约和相应的远期利率合约。对欧洲美元期货合约要每天进行结算，最终的结算是在$T_1$，并反映了$T_1$与$T_2$之间的利率。与此相反，远期利率合约不是每天结算，最终的结算反映了$T_1$与$T_2$之间的利率，并且最终付款时间是在 $T_2$。

    • 期货每天结算，而 FRA 结算一次（欧洲美元和 LIBOR/SOFR 均如此） Futures settle daily, while FRA settles once (both Eurodollar and LIBOR/SOFR)
    • 期货在基础三个月期初结算； FRA 在基础三个月期末结算（适用于欧洲美元） Futures settle at the beginning of the underlying three-month period; FRAs settle at the end of the underlying three-month period (for Eurodollars)

    使得远期利率低于期货利率的两点原因：

    • (每天交割支付) 使远期利率低于期货利率的原因:假定你持有一份合约，合约在时间$T_1$的收益为$R_M-R_F$，其中$R_F$为事先约定的介于$T_1$与$T_2$之间的利率，$R_M$为这一时间段的实际利率。假设你可以选择每天进行结算。这时，在利率较高时每天结算会造成现金流的流入，而在利率较低时会造成现金流的流出。在利率较高时，你可能会选择每天结算，因为这样会使保证金账户里有更多的现金(更高的投资收益）。由于这个原因，市场对于每天结算所对应的 $R_F$，会设得较高 (减少预期累计收益)。
    • 假定收益$R_M-R_F$发生在$T_2$而不是在$T_1$(就像正常的远期利率合约那样)。如果 $R_M$，很高，该收益为正。因为利率较高，在 $T_2$ 收人收益所付代价比在 $T_1$ 收人收益所付代价要更高。如果 $R_M$ 较低，收益为负。因为利率较低，在 $T_2$ 支付收益比在 $T_1$ 支付收益所得好处也相对较低。总而言之，你更希望在 $T_1$收到收益。如果结算日在 $T_2$而不是在 $T_1$，你会从$R_F$的降低而得到补偿。

    凸性调整

    $$ \text{远期利率} = \text{期货利率} - \frac{1}{2}\sigma^2T_1T_2 $$

    • $\sigma^2$： 一年的短期利率变化的方差 Variance of short-term interest rate change for one year
    • $T_1$:期货合约期限 Futures contract duration
    • $T_2$:期货合约标的利率对应的到期时间 The expiration time corresponding to the underlying interest rate of the futures contract
    • 利率均为连续复利

    考虑$\sigma=0.012$的情形，我们想计算8年期限、期货价格为94所对应的远期利率。这时$T_1=8,T_2=8.25$,凸性调整为 $$ \frac{1}{2}0.012^28*8.25=0.00475 $$ 按照天数计算惯例“实际天数/360”，每季度复利的期货利率为6\%,对应每90天利率为1.5\%。对应于“实际天数/365”，期货利率连续复利为$（365/90）ln 1.015=6.038\%$。 估计远期利率为$6.038\%-0.475\% = 5.563\%$

    利用欧洲美元期货拓展零息利率

    假定$F_i$是由第i个期货所得出的远期利率，$R_i$是期限为$T_i$的零息利率。

    $$ F_i = \frac{R_{i+1}T_{i+1}-R_{i}T_{i}}{T_{i+1}-T_{i}}\ $$ 因此 $$ R_{i+1} = \frac{F_i(T_{i+1}-T_{i})+R_iT_i}{T_{i+1}} $$

    久期匹配(Duration Matching)

    $$ N^* = \frac{PD_P}{V_FD_F} $$

    • $𝑉_𝐹$： 一份利率期货合约价格 The price of an interest rate futures contract
    • $𝐷_𝐹$： 期货标的资产到期日的久期 The duration of the futures underlying asset's expiration date
    • 𝑃： 被对冲的投资组合的价值 The value of the hedged portfolio
    • $𝐷_𝑃$： 对冲到期时的投资组合的久期 The duration of the portfolio at hedge maturity

    现在是八月，一位基金经理将 1000 万美元投资于期限为 6.80 年的政府债券组合，并希望对冲 8 月至 12 月之间的利率变动。经理决定使用 12 月国债期货，期货价格为 93-02 或 93.0625，期货合约到期时最便宜交割债券的久期为9.2 年 。（It's August and a fund manager invests $10 million in a portfolio of government bonds with a maturity of 6.80 years and wants to hedge against changes in interest rates between August and December，The manager decides to use December Treasury futures. The futures price is 93-02 or 93.0625 and the duration of the cheapest-to-deliver bond at the expiration of the futures contract is 9.2 years）

    应该做空的合约数量是（The number of contracts that should be shorted is） $$ 一般美国国债每份交割面值为10万美元 \ \frac{10,000,000}{93,062.5} * \frac{6.8}{9.2}=79.42 \ 对上数取整，需要做空79份合约 $$

    基于久期的套期保值的局限性

    • 假设收益率曲线仅发生平行移动 Assuming only a parallel shift in the yield curve
    • 假设收益率曲线变化很小 Assuming little change in the yield curve
    • 当使用国债期货时，假设最便宜的交割债券没有变化 When using Treasury futures, it is assumed that there is no change in the cheapest delivery bond

    缺口管理 Gap Management

    这是银行用来对冲利率的一种更复杂的方法（This is a more sophisticated method banks use to hedge interest rates）

    • 对零息曲线进行切分 Slicing the Zero Coupon Curve
    • 对冲风险敞口，即切分的一个区间对应的利率发生变化而所有其他利率保持不变 Hedging exposure, where the interest rate corresponding to one segment of the slice changes while all other interest rates remain unchanged