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是在随机过程的Poisson过程，在描述事件A已经发生了n次(记为 $N(t)=n$ ，考虑这n次事件发生的时刻 $T_1,T_2,\ldots,T_n$ 的联合分布。

顺序统计量

假设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是定义在 $[0,w]$ 区间上,服从 $F$ 分布的随机变量,
$P(X\leq x) = F(x)$
而 $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ 是上面的一个顺序统计量, 就是按照从小到大的顺序对 $x$ 进行排序，然后换个名字而已,那么这个顺序统计量的联合分布为
$\begin{aligned} &P\{Y_1 \leq y_1, Y_2 \leq y_2, \cdots Y_n \leq y_n\} \\ &= P\{x_1 \leq y_1, x_2 \leq y_2, \cdots x_n \leq y_n\} \\ &+P\{x_2 \leq y_1, x_1 \leq y_2, \cdots x_n \leq y_n\} \\ & \cdots 总之就是对原有的x进行全排列加起来，全排列总共有 n!种 \\ &= n!F(y_1)F(y_2)\cdots F(y_n) \end{aligned}$

那么联合概率密度函数就是
$f_Y(y_1,y_2,\ldots,y_n) = \frac{\partial^n n!F(y_1)F(y_2)\cdots F(y_n)}{\partial y_n \ldots \partial y_2 \partial y_1} \\ = n! f(y_1)f(y_2)\cdots f(y_n)$

Poisson过程事件发生时刻的条件分布

是在随机过程的Poisson过程，在描述事件A已经发生了n次(记为 $N(t)=n$ ，考虑这n次事件发生的时刻 $T_1,T_2,\ldots,T_n$ 的联合分布。

想知道联合分布, 那必有概率密度函数,先上结论，后面再证
$f(T=t_1,t_2,\ldots,t_n) = \frac{n!}{t^n}$

$证明: 设0< t_1 < t_2 < \ldots < t_n < t_n = t \\ 取 h_i 充分小，使得 t_i + h_i < t_{i+1} (i = 0,1,2,\ldots,n) \\ \begin{aligned} &P\{t_i< T_i < t_i + h_i,i=1,2,\ldots,n|N(t)=n\} \\ &=\frac{P\{N(t_i+h_i)-N(t_i)=1,N(h_{i+1})-N(t_i+h_{i})=0,1 \leq i \leq n, N(t_1)=0\}}{P\{N(t)=n\}} \\ & \color{blue}{将上式翻译成人话，就是事件发生的时刻T_i = t_i,然后间每个事件发生的概率做连积, 再除以条件的概率} \\ & \color{blue}{再根据Poisson过程中，在任一长度为t的区间中时间发生的次数服从均值为\lambda t的Poisson分布} \\ &\color{blue}{P\{N(t+s)-N(s)=n\} = e ^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}}\\ &=\frac{\lambda h_1 e^{-\lambda h_1} \cdots \lambda h_n e^{-\lambda h_n}e^{-\lambda(t-h_1-h_2-\ldots -h_n)}}{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}} \\ &=\frac{n!}{t^n} h_1 h_2 \cdots h_n \\ &f(t_1,t_2,\ldots,t_n) \\ &= \lim_{h_i\to 0,1\leq i \leq n} \frac{P\{t_i< T_i < t_i + h_i,i=1,2,\ldots,n|N(t)=n\}}{h_1h_2\ldots h_n} \\ &= \frac{n!}{t^n}, 0<t_1<t_2<\cdots<t_n \end{aligned}$

这个结果就是 $[0,t]$ 区间上服从均匀分布的n个相互独立随机变量 $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ 的顺序统计量的联合概率密度。所以从直观上, 在已知 $[0,t]$ 内发生了n次事件的前提下，各次事件发生的时刻 $T_1,T_2,\cdots,T_n$ (不排序)可看做相互独立的随机变量,且都服从 $[0,t]$ 的均匀分布